Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13608 / 3836
↖ ↑ ↗
← N 79.695048°
W 30.498047°		 ← 218.52 m → N 79.695048°
W 30.487061°		 →
↑
218.53 m
↓
↑
218.53 m
↓
N 79.693083°
W 30.498047°		 ← 218.57 m →
47 758 m²		 N 79.693083°
W 30.487061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415298461914062 y=0.117080688476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415298461914062 × 215)
    floor (0.415298461914062 × 32768)
    floor (13608.5)     		tx = 13608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117080688476562 × 215)
    floor (0.117080688476562 × 32768)
    floor (3836.5)     		ty = 3836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13608 / 3836 ti = "15/13608/3836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13608/3836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13608 ÷ 215
    13608 ÷ 32768     		x = 0.415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3836 ÷ 215
    3836 ÷ 32768     		y = 0.1170654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.16943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53229133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1170654296875 × 2 - 1) × π
    0.765869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40604886572986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53229133} λ = -0.53229133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40604886572986))-π/2
    2×atan(11.0900561639787)-π/2
    2×1.48086865925035-π/2
    2.96173731850071-1.57079632675     		φ = 1.39094099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53229133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.498047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39094099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.695048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13608 KachelY 3836 -0.53229133 1.39094099 -30.498047 79.695048
    Oben rechts KachelX + 1 13609 KachelY 3836 -0.53209959 1.39094099 -30.487061 79.695048
    Unten links KachelX 13608 KachelY + 1 3837 -0.53229133 1.39090669 -30.498047 79.693083
    Unten rechts KachelX + 1 13609 KachelY + 1 3837 -0.53209959 1.39090669 -30.487061 79.693083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39094099-1.39090669) × R
    3.43000000000426e-05 × 6371000     		dl = 218.525300000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39094099-1.39090669) × R
    3.43000000000426e-05 × 6371000     		dr = 218.525300000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53229133--0.53209959) × cos(1.39094099) × R
    0.000191739999999996 × 0.178887245571085 × 6371000     		do = 218.524283607607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53229133--0.53209959) × cos(1.39090669) × R
    0.000191739999999996 × 0.178920992192494 × 6371000     		du = 218.565507654877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39094099)-sin(1.39090669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178887245571085-0.178920992192494)×R²
    abs(-0.53209959--0.53229133)×3.37466214088422e-05×R²
    0.000191739999999996×3.37466214088422e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.37466214088422e-05×40589641000000     		ar = 47757.588885786m²