Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13608 / 12648
↖ ↑ ↗
← S 69.472968°
E119.003906°		 ← 856.71 m → S 69.472968°
E119.025879°		 →
↑
856.58 m
↓
↑
856.58 m
↓
S 69.480672°
E119.003906°		 ← 856.40 m →
733 711 m²		 S 69.480672°
E119.025879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830596923828125 y=0.772003173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830596923828125 × 214)
    floor (0.830596923828125 × 16384)
    floor (13608.5)     		tx = 13608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772003173828125 × 214)
    floor (0.772003173828125 × 16384)
    floor (12648.5)     		ty = 12648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13608 / 12648 ti = "14/13608/12648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13608/12648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13608 ÷ 214
    13608 ÷ 16384     		x = 0.83056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12648 ÷ 214
    12648 ÷ 16384     		y = 0.77197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83056640625 × 2 - 1) × π
    0.6611328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07700999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77197265625 × 2 - 1) × π
    -0.5439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70885459765576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07700999} λ = 2.07700999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70885459765576))-π/2
    2×atan(0.181073075408414)-π/2
    2×0.179132142315025-π/2
    0.358264284630051-1.57079632675     		φ = -1.21253204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07700999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.003906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21253204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.472968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13608 KachelY 12648 2.07700999 -1.21253204 119.003906 -69.472968
    Oben rechts KachelX + 1 13609 KachelY 12648 2.07739348 -1.21253204 119.025879 -69.472968
    Unten links KachelX 13608 KachelY + 1 12649 2.07700999 -1.21266649 119.003906 -69.480672
    Unten rechts KachelX + 1 13609 KachelY + 1 12649 2.07739348 -1.21266649 119.025879 -69.480672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21253204--1.21266649) × R
    0.000134450000000008 × 6371000     		dl = 856.580950000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21253204--1.21266649) × R
    0.000134450000000008 × 6371000     		dr = 856.580950000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07700999-2.07739348) × cos(-1.21253204) × R
    0.000383489999999931 × 0.350649254967064 × 6371000     		do = 856.711445837858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07700999-2.07739348) × cos(-1.21266649) × R
    0.000383489999999931 × 0.350523338450724 × 6371000     		du = 856.403804742831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21253204)-sin(-1.21266649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350649254967064-0.350523338450724)×R²
    abs(2.07739348-2.07700999)×0.000125916516339863×R²
    0.000383489999999931×0.000125916516339863×6371000²
    0.000383489999999931×0.000125916516339863×40589641000000     		ar = 733710.945507838m²