Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13605 / 3838
↖ ↑ ↗
← N 79.691117°
W 30.531006°		 ← 218.62 m → N 79.691117°
W 30.520020°		 →
↑
218.65 m
↓
↑
218.65 m
↓
N 79.689151°
W 30.531006°		 ← 218.66 m →
47 806 m²		 N 79.689151°
W 30.520020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415206909179688 y=0.117141723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415206909179688 × 215)
    floor (0.415206909179688 × 32768)
    floor (13605.5)     		tx = 13605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117141723632812 × 215)
    floor (0.117141723632812 × 32768)
    floor (3838.5)     		ty = 3838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13605 / 3838 ti = "15/13605/3838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13605/3838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13605 ÷ 215
    13605 ÷ 32768     		x = 0.415191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3838 ÷ 215
    3838 ÷ 32768     		y = 0.11712646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415191650390625 × 2 - 1) × π
    -0.16961669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53286658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11712646484375 × 2 - 1) × π
    0.7657470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4056653705329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53286658} λ = -0.53286658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4056653705329))-π/2
    2×atan(11.0858039961009)-π/2
    2×1.48083435157907-π/2
    2.96166870315814-1.57079632675     		φ = 1.39087238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53286658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.531006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39087238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.691117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13605 KachelY 3838 -0.53286658 1.39087238 -30.531006 79.691117
    Oben rechts KachelX + 1 13606 KachelY 3838 -0.53267483 1.39087238 -30.520020 79.691117
    Unten links KachelX 13605 KachelY + 1 3839 -0.53286658 1.39083806 -30.531006 79.689151
    Unten rechts KachelX + 1 13606 KachelY + 1 3839 -0.53267483 1.39083806 -30.520020 79.689151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39087238-1.39083806) × R
    3.43199999999211e-05 × 6371000     		dl = 218.652719999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39087238-1.39083806) × R
    3.43199999999211e-05 × 6371000     		dr = 218.652719999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53286658--0.53267483) × cos(1.39087238) × R
    0.000191749999999935 × 0.178954748441977 × 6371000     		do = 218.618144670522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53286658--0.53267483) × cos(1.39083806) × R
    0.000191749999999935 × 0.178988514319311 × 6371000     		du = 218.659394391583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39087238)-sin(1.39083806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178954748441977-0.178988514319311)×R²
    abs(-0.53267483--0.53286658)×3.37658773334193e-05×R²
    0.000191749999999935×3.37658773334193e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.37658773334193e-05×40589641000000     		ar = 47805.9616595266m²