Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13605 / 3821
↖ ↑ ↗
← N 79.724486°
W 30.531006°		 ← 217.92 m → N 79.724486°
W 30.520020°		 →
↑
217.95 m
↓
↑
217.95 m
↓
N 79.722526°
W 30.531006°		 ← 217.96 m →
47 500 m²		 N 79.722526°
W 30.520020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415206909179688 y=0.116622924804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415206909179688 × 215)
    floor (0.415206909179688 × 32768)
    floor (13605.5)     		tx = 13605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116622924804688 × 215)
    floor (0.116622924804688 × 32768)
    floor (3821.5)     		ty = 3821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13605 / 3821 ti = "15/13605/3821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13605/3821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13605 ÷ 215
    13605 ÷ 32768     		x = 0.415191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3821 ÷ 215
    3821 ÷ 32768     		y = 0.116607666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415191650390625 × 2 - 1) × π
    -0.16961669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53286658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116607666015625 × 2 - 1) × π
    0.76678466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.40892507970706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53286658} λ = -0.53286658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40892507970706))-π/2
    2×atan(11.1219994543735)-π/2
    2×1.48112555457951-π/2
    2.96225110915902-1.57079632675     		φ = 1.39145478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53286658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.531006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39145478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.724486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13605 KachelY 3821 -0.53286658 1.39145478 -30.531006 79.724486
    Oben rechts KachelX + 1 13606 KachelY 3821 -0.53267483 1.39145478 -30.520020 79.724486
    Unten links KachelX 13605 KachelY + 1 3822 -0.53286658 1.39142057 -30.531006 79.722526
    Unten rechts KachelX + 1 13606 KachelY + 1 3822 -0.53267483 1.39142057 -30.520020 79.722526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39145478-1.39142057) × R
    3.42099999999235e-05 × 6371000     		dl = 217.951909999512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39145478-1.39142057) × R
    3.42099999999235e-05 × 6371000     		dr = 217.951909999512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53286658--0.53267483) × cos(1.39145478) × R
    0.000191749999999935 × 0.178381719629713 × 6371000     		do = 217.918110182079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53286658--0.53267483) × cos(1.39142057) × R
    0.000191749999999935 × 0.178415380843522 × 6371000     		du = 217.95923204207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39145478)-sin(1.39142057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178381719629713-0.178415380843522)×R²
    abs(-0.53267483--0.53286658)×3.36612138085168e-05×R²
    0.000191749999999935×3.36612138085168e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.36612138085168e-05×40589641000000     		ar = 47500.149636291m²