Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13604 / 3844
↖ ↑ ↗
← N 79.679314°
W 30.541992°		 ← 218.85 m → N 79.679314°
W 30.531006°		 →
↑
218.84 m
↓
↑
218.84 m
↓
N 79.677346°
W 30.541992°		 ← 218.90 m →
47 899 m²		 N 79.677346°
W 30.531006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415176391601562 y=0.117324829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415176391601562 × 215)
    floor (0.415176391601562 × 32768)
    floor (13604.5)     		tx = 13604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117324829101562 × 215)
    floor (0.117324829101562 × 32768)
    floor (3844.5)     		ty = 3844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13604 / 3844 ti = "15/13604/3844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13604/3844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13604 ÷ 215
    13604 ÷ 32768     		x = 0.4151611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3844 ÷ 215
    3844 ÷ 32768     		y = 0.1173095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4151611328125 × 2 - 1) × π
    -0.169677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53305832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1173095703125 × 2 - 1) × π
    0.765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.40451488494202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53305832} λ = -0.53305832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40451488494202))-π/2
    2×atan(11.0730572722071)-π/2
    2×1.48073135086503-π/2
    2.96146270173006-1.57079632675     		φ = 1.39066637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53305832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.541992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39066637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.679314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13604 KachelY 3844 -0.53305832 1.39066637 -30.541992 79.679314
    Oben rechts KachelX + 1 13605 KachelY 3844 -0.53286658 1.39066637 -30.531006 79.679314
    Unten links KachelX 13604 KachelY + 1 3845 -0.53305832 1.39063202 -30.541992 79.677346
    Unten rechts KachelX + 1 13605 KachelY + 1 3845 -0.53286658 1.39063202 -30.531006 79.677346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39066637-1.39063202) × R
    3.43499999999608e-05 × 6371000     		dl = 218.84384999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39066637-1.39063202) × R
    3.43499999999608e-05 × 6371000     		dr = 218.84384999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53305832--0.53286658) × cos(1.39066637) × R
    0.000191739999999996 × 0.179157429086664 × 6371000     		do = 218.854333181548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53305832--0.53286658) × cos(1.39063202) × R
    0.000191739999999996 × 0.179191223212332 × 6371000     		du = 218.895615258861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39066637)-sin(1.39063202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179157429086664-0.179191223212332)×R²
    abs(-0.53286658--0.53305832)×3.3794125668396e-05×R²
    0.000191739999999996×3.3794125668396e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.3794125668396e-05×40589641000000     		ar = 47899.4420316133m²