Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13603 / 3852
↖ ↑ ↗
← N 79.663556°
W 30.552978°		 ← 219.20 m → N 79.663556°
W 30.541992°		 →
↑
219.16 m
↓
↑
219.16 m
↓
N 79.661585°
W 30.552978°		 ← 219.24 m →
48 044 m²		 N 79.661585°
W 30.541992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415145874023438 y=0.117568969726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415145874023438 × 215)
    floor (0.415145874023438 × 32768)
    floor (13603.5)     		tx = 13603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117568969726562 × 215)
    floor (0.117568969726562 × 32768)
    floor (3852.5)     		ty = 3852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13603 / 3852 ti = "15/13603/3852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13603/3852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13603 ÷ 215
    13603 ÷ 32768     		x = 0.415130615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3852 ÷ 215
    3852 ÷ 32768     		y = 0.1175537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.16973876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53325007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1175537109375 × 2 - 1) × π
    0.764892578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40298090415417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53325007} λ = -0.53325007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40298090415417))-π/2
    2×atan(11.0560844364191)-π/2
    2×1.48059383510272-π/2
    2.96118767020544-1.57079632675     		φ = 1.39039134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53325007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.552978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39039134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.663556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13603 KachelY 3852 -0.53325007 1.39039134 -30.552978 79.663556
    Oben rechts KachelX + 1 13604 KachelY 3852 -0.53305832 1.39039134 -30.541992 79.663556
    Unten links KachelX 13603 KachelY + 1 3853 -0.53325007 1.39035694 -30.552978 79.661585
    Unten rechts KachelX + 1 13604 KachelY + 1 3853 -0.53305832 1.39035694 -30.541992 79.661585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39039134-1.39035694) × R
    3.4400000000101e-05 × 6371000     		dl = 219.162400000644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39039134-1.39035694) × R
    3.4400000000101e-05 × 6371000     		dr = 219.162400000644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53325007--0.53305832) × cos(1.39039134) × R
    0.000191750000000046 × 0.179428002437049 × 6371000     		do = 219.196290326247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53325007--0.53305832) × cos(1.39035694) × R
    0.000191750000000046 × 0.179461844056976 × 6371000     		du = 219.237632577434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39039134)-sin(1.39035694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179428002437049-0.179461844056976)×R²
    abs(-0.53305832--0.53325007)×3.38416199272829e-05×R²
    0.000191750000000046×3.38416199272829e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.38416199272829e-05×40589641000000     		ar = 48044.1153972872m²