Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13603 / 3841
↖ ↑ ↗
← N 79.685217°
W 30.552978°		 ← 218.74 m → N 79.685217°
W 30.541992°		 →
↑
218.72 m
↓
↑
218.72 m
↓
N 79.683250°
W 30.552978°		 ← 218.78 m →
47 847 m²		 N 79.683250°
W 30.541992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415145874023438 y=0.117233276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415145874023438 × 215)
    floor (0.415145874023438 × 32768)
    floor (13603.5)     		tx = 13603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117233276367188 × 215)
    floor (0.117233276367188 × 32768)
    floor (3841.5)     		ty = 3841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13603 / 3841 ti = "15/13603/3841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13603/3841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13603 ÷ 215
    13603 ÷ 32768     		x = 0.415130615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3841 ÷ 215
    3841 ÷ 32768     		y = 0.117218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.16973876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53325007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117218017578125 × 2 - 1) × π
    0.76556396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.40509012773746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53325007} λ = -0.53325007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40509012773746))-π/2
    2×atan(11.0794288010388)-π/2
    2×1.48078286579527-π/2
    2.96156573159053-1.57079632675     		φ = 1.39076940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53325007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.552978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39076940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.685217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13603 KachelY 3841 -0.53325007 1.39076940 -30.552978 79.685217
    Oben rechts KachelX + 1 13604 KachelY 3841 -0.53305832 1.39076940 -30.541992 79.685217
    Unten links KachelX 13603 KachelY + 1 3842 -0.53325007 1.39073507 -30.552978 79.683250
    Unten rechts KachelX + 1 13604 KachelY + 1 3842 -0.53305832 1.39073507 -30.541992 79.683250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39076940-1.39073507) × R
    3.43299999998603e-05 × 6371000     		dl = 218.71642999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39076940-1.39073507) × R
    3.43299999998603e-05 × 6371000     		dr = 218.71642999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53325007--0.53305832) × cos(1.39076940) × R
    0.000191750000000046 × 0.179056065118244 × 6371000     		do = 218.741917099056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53325007--0.53305832) × cos(1.39073507) × R
    0.000191750000000046 × 0.179089840201191 × 6371000     		du = 218.783178066055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39076940)-sin(1.39073507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179056065118244-0.179089840201191)×R²
    abs(-0.53305832--0.53325007)×3.37750829468575e-05×R²
    0.000191750000000046×3.37750829468575e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.37750829468575e-05×40589641000000     		ar = 47846.9634293821m²