Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13602 / 3259
↖ ↑ ↗
← N 80.769430°
W 30.563965°		 ← 195.96 m → N 80.769430°
W 30.552978°		 →
↑
195.97 m
↓
↑
195.97 m
↓
N 80.767668°
W 30.563965°		 ← 196 m →
38 406 m²		 N 80.767668°
W 30.552978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415115356445312 y=0.0994720458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415115356445312 × 215)
    floor (0.415115356445312 × 32768)
    floor (13602.5)     		tx = 13602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0994720458984375 × 215)
    floor (0.0994720458984375 × 32768)
    floor (3259.5)     		ty = 3259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13602 / 3259 ti = "15/13602/3259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13602/3259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13602 ÷ 215
    13602 ÷ 32768     		x = 0.41510009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3259 ÷ 215
    3259 ÷ 32768     		y = 0.099456787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41510009765625 × 2 - 1) × π
    -0.1697998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53344182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099456787109375 × 2 - 1) × π
    0.80108642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51668723005295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53344182} λ = -0.53344182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51668723005295))-π/2
    2×atan(12.3874917052937)-π/2
    2×1.49024441062338-π/2
    2.98048882124676-1.57079632675     		φ = 1.40969249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53344182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.563965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40969249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.769430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13602 KachelY 3259 -0.53344182 1.40969249 -30.563965 80.769430
    Oben rechts KachelX + 1 13603 KachelY 3259 -0.53325007 1.40969249 -30.552978 80.769430
    Unten links KachelX 13602 KachelY + 1 3260 -0.53344182 1.40966173 -30.563965 80.767668
    Unten rechts KachelX + 1 13603 KachelY + 1 3260 -0.53325007 1.40966173 -30.552978 80.767668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40969249-1.40966173) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dl = 195.971960000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40969249-1.40966173) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dr = 195.971960000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53344182--0.53325007) × cos(1.40969249) × R
    0.000191749999999935 × 0.160407847132186 × 6371000     		do = 195.960522064612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53344182--0.53325007) × cos(1.40966173) × R
    0.000191749999999935 × 0.160438208739538 × 6371000     		du = 195.997612995846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40969249)-sin(1.40966173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160407847132186-0.160438208739538)×R²
    abs(-0.53325007--0.53344182)×3.03616073517587e-05×R²
    0.000191749999999935×3.03616073517587e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.03616073517587e-05×40589641000000     		ar = 38406.4019854267m²