Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13600 / 4320
↖ ↑ ↗
← N 82.517748°
W105.292969°		 ← 79.54 m → N 82.517748°
W105.287476°		 →
↑
79.51 m
↓
↑
79.51 m
↓
N 82.517033°
W105.292969°		 ← 79.54 m →
6 324 m²		 N 82.517033°
W105.287476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.207527160644531 y=0.0659255981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.207527160644531 × 216)
    floor (0.207527160644531 × 65536)
    floor (13600.5)     		tx = 13600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0659255981445312 × 216)
    floor (0.0659255981445312 × 65536)
    floor (4320.5)     		ty = 4320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13600 / 4320 ti = "16/13600/4320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13600/4320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13600 ÷ 216
    13600 ÷ 65536     		x = 0.20751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4320 ÷ 216
    4320 ÷ 65536     		y = 0.06591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.20751953125 × 2 - 1) × π
    -0.5849609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.83770898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06591796875 × 2 - 1) × π
    0.8681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.72741784078271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.83770898} λ = -1.83770898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72741784078271))-π/2
    2×atan(15.2933461367591)-π/2
    2×1.50550136498839-π/2
    3.01100272997677-1.57079632675     		φ = 1.44020640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.83770898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.292969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44020640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.517748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13600 KachelY 4320 -1.83770898 1.44020640 -105.292969 82.517748
    Oben rechts KachelX + 1 13601 KachelY 4320 -1.83761311 1.44020640 -105.287476 82.517748
    Unten links KachelX 13600 KachelY + 1 4321 -1.83770898 1.44019392 -105.292969 82.517033
    Unten rechts KachelX + 1 13601 KachelY + 1 4321 -1.83761311 1.44019392 -105.287476 82.517033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44020640-1.44019392) × R
    1.24800000000924e-05 × 6371000     		dl = 79.5100800005888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44020640-1.44019392) × R
    1.24800000000924e-05 × 6371000     		dr = 79.5100800005888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.83770898--1.83761311) × cos(1.44020640) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.130219068958444 × 6371000     		do = 79.5362147406025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.83770898--1.83761311) × cos(1.44019392) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.13023144268418 × 6371000     		du = 79.5437724609511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44020640)-sin(1.44019392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130219068958444-0.13023144268418)×R²
    abs(-1.83761311--1.83770898)×1.23737257355927e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.23737257355927e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.23737257355927e-05×40589641000000     		ar = 6324.23125429636m²