Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13600 / 3257
↖ ↑ ↗
← N 80.772954°
W 30.585937°		 ← 195.88 m → N 80.772954°
W 30.574951°		 →
↑
195.91 m
↓
↑
195.91 m
↓
N 80.771193°
W 30.585937°		 ← 195.91 m →
38 377 m²		 N 80.771193°
W 30.574951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415054321289062 y=0.0994110107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415054321289062 × 215)
    floor (0.415054321289062 × 32768)
    floor (13600.5)     		tx = 13600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0994110107421875 × 215)
    floor (0.0994110107421875 × 32768)
    floor (3257.5)     		ty = 3257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13600 / 3257 ti = "15/13600/3257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13600/3257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13600 ÷ 215
    13600 ÷ 32768     		x = 0.4150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3257 ÷ 215
    3257 ÷ 32768     		y = 0.099395751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4150390625 × 2 - 1) × π
    -0.169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53382531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099395751953125 × 2 - 1) × π
    0.80120849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51707072524991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53382531} λ = -0.53382531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51707072524991))-π/2
    2×atan(12.3922431598868)-π/2
    2×1.49027516262135-π/2
    2.9805503252427-1.57079632675     		φ = 1.40975400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53382531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.585937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40975400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.772954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13600 KachelY 3257 -0.53382531 1.40975400 -30.585937 80.772954
    Oben rechts KachelX + 1 13601 KachelY 3257 -0.53363357 1.40975400 -30.574951 80.772954
    Unten links KachelX 13600 KachelY + 1 3258 -0.53382531 1.40972325 -30.585937 80.771193
    Unten rechts KachelX + 1 13601 KachelY + 1 3258 -0.53363357 1.40972325 -30.574951 80.771193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40975400-1.40972325) × R
    3.07499999998573e-05 × 6371000     		dl = 195.908249999091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40975400-1.40972325) × R
    3.07499999998573e-05 × 6371000     		dr = 195.908249999091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53382531--0.53363357) × cos(1.40975400) × R
    0.000191739999999996 × 0.160347133332795 × 6371000     		do = 195.876135988457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53382531--0.53363357) × cos(1.40972325) × R
    0.000191739999999996 × 0.16037748537306 × 6371000     		du = 195.913213298433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40975400)-sin(1.40972325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160347133332795-0.16037748537306)×R²
    abs(-0.53363357--0.53382531)×3.03520402646362e-05×R²
    0.000191739999999996×3.03520402646362e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.03520402646362e-05×40589641000000     		ar = 38377.3828965368m²