Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1360 / 816
↖ ↑ ↗
← N 80.760615°
W120.234375°		 ← 784.57 m → N 80.760615°
W120.190430°		 →
↑
784.84 m
↓
↑
784.84 m
↓
N 80.753556°
W120.234375°		 ← 785.17 m →
616 001 m²		 N 80.753556°
W120.190430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16607666015625 y=0.09967041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16607666015625 × 213)
    floor (0.16607666015625 × 8192)
    floor (1360.5)     		tx = 1360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09967041015625 × 213)
    floor (0.09967041015625 × 8192)
    floor (816.5)     		ty = 816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1360 / 816 ti = "13/1360/816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1360/816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1360 ÷ 213
    1360 ÷ 8192     		x = 0.166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 816 ÷ 213
    816 ÷ 8192     		y = 0.099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166015625 × 2 - 1) × π
    -0.66796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09848572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099609375 × 2 - 1) × π
    0.80078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51572849206055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09848572} λ = -2.09848572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51572849206055))-π/2
    2×atan(12.3756210377045)-π/2
    2×1.49016747968211-π/2
    2.98033495936421-1.57079632675     		φ = 1.40953863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09848572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40953863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.760615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1360 KachelY 816 -2.09848572 1.40953863 -120.234375 80.760615
    Oben rechts KachelX + 1 1361 KachelY 816 -2.09771873 1.40953863 -120.190430 80.760615
    Unten links KachelX 1360 KachelY + 1 817 -2.09848572 1.40941544 -120.234375 80.753556
    Unten rechts KachelX + 1 1361 KachelY + 1 817 -2.09771873 1.40941544 -120.190430 80.753556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40953863-1.40941544) × R
    0.000123189999999829 × 6371000     		dl = 784.843489998909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40953863-1.40941544) × R
    0.000123189999999829 × 6371000     		dr = 784.843489998909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09848572--2.09771873) × cos(1.40953863) × R
    0.000766990000000245 × 0.160559712872195 × 6371000     		do = 784.57395959456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09848572--2.09771873) × cos(1.40941544) × R
    0.000766990000000245 × 0.160681303402365 × 6371000     		du = 785.16811090436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40953863)-sin(1.40941544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160559712872195-0.160681303402365)×R²
    abs(-2.09771873--2.09848572)×0.00012159053016933×R²
    0.000766990000000245×0.00012159053016933×6371000²
    0.000766990000000245×0.00012159053016933×40589641000000     		ar = 616000.923281307m²