Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 136 / 182
↖ ↑ ↗
← S 60.239811°
E 11.250000°		 ← 77.616 km → S 60.239811°
E 12.656250°		 →
↑
76.794 km
↓
↑
76.794 km
↓
S 60.930432°
E 11.250000°		 ← 75.975 km →
5 897.47 km²		 S 60.930432°
E 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533203125 y=0.712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533203125 × 28)
    floor (0.533203125 × 256)
    floor (136.5)     		tx = 136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.712890625 × 28)
    floor (0.712890625 × 256)
    floor (182.5)     		ty = 182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 136 / 182 ti = "8/136/182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/136/182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 136 ÷ 28
    136 ÷ 256     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 182 ÷ 28
    182 ÷ 256     		y = 0.7109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7109375 × 2 - 1) × π
    -0.421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.32535940069531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.32535940069531))-π/2
    2×atan(0.26570744648529)-π/2
    2×0.259706640558781-π/2
    0.519413281117561-1.57079632675     		φ = -1.05138305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.05138305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.239811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 136 KachelY 182 0.19634954 -1.05138305 11.250000 -60.239811
    Oben rechts KachelX + 1 137 KachelY 182 0.22089323 -1.05138305 12.656250 -60.239811
    Unten links KachelX 136 KachelY + 1 183 0.19634954 -1.06343666 11.250000 -60.930432
    Unten rechts KachelX + 1 137 KachelY + 1 183 0.22089323 -1.06343666 12.656250 -60.930432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.05138305--1.06343666) × R
    0.0120536099999999 × 6371000     		dl = 76793.5493099996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.05138305--1.06343666) × R
    0.0120536099999999 × 6371000     		dr = 76793.5493099996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.22089323) × cos(-1.05138305) × R
    0.02454369 × 0.496370882698369 × 6371000     		do = 77616.4472288116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.22089323) × cos(-1.06343666) × R
    0.02454369 × 0.485871211628651 × 6371000     		du = 75974.6362485373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.05138305)-sin(-1.06343666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496370882698369-0.485871211628651)×R²
    abs(0.22089323-0.19634954)×0.0104996710697173×R²
    0.02454369×0.0104996710697173×6371000²
    0.02454369×0.0104996710697173×40589641000000     		ar = 5897473624.89301m²