Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13599 / 12541
↖ ↑ ↗
← S 68.632551°
E118.806152°		 ← 890.20 m → S 68.632551°
E118.828125°		 →
↑
890.03 m
↓
↑
890.03 m
↓
S 68.640555°
E118.806152°		 ← 889.89 m →
792 165 m²		 S 68.640555°
E118.828125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830047607421875 y=0.765472412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830047607421875 × 214)
    floor (0.830047607421875 × 16384)
    floor (13599.5)     		tx = 13599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765472412109375 × 214)
    floor (0.765472412109375 × 16384)
    floor (12541.5)     		ty = 12541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13599 / 12541 ti = "14/13599/12541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13599/12541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13599 ÷ 214
    13599 ÷ 16384     		x = 0.83001708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12541 ÷ 214
    12541 ÷ 16384     		y = 0.76544189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83001708984375 × 2 - 1) × π
    0.6600341796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07355853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76544189453125 × 2 - 1) × π
    -0.5308837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66782061158099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07355853} λ = 2.07355853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66782061158099))-π/2
    2×atan(0.188657776500195)-π/2
    2×0.186466170815781-π/2
    0.372932341631561-1.57079632675     		φ = -1.19786399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07355853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.806152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19786399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.632551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13599 KachelY 12541 2.07355853 -1.19786399 118.806152 -68.632551
    Oben rechts KachelX + 1 13600 KachelY 12541 2.07394203 -1.19786399 118.828125 -68.632551
    Unten links KachelX 13599 KachelY + 1 12542 2.07355853 -1.19800369 118.806152 -68.640555
    Unten rechts KachelX + 1 13600 KachelY + 1 12542 2.07394203 -1.19800369 118.828125 -68.640555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19786399--1.19800369) × R
    0.000139699999999854 × 6371000     		dl = 890.028699999069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19786399--1.19800369) × R
    0.000139699999999854 × 6371000     		dr = 890.028699999069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07355853-2.07394203) × cos(-1.19786399) × R
    0.00038349999999987 × 0.364347771135478 × 6371000     		do = 890.203075737932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07355853-2.07394203) × cos(-1.19800369) × R
    0.00038349999999987 × 0.364217670144992 × 6371000     		du = 889.88520278505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19786399)-sin(-1.19800369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364347771135478-0.364217670144992)×R²
    abs(2.07394203-2.07355853)×0.000130100990485715×R²
    0.00038349999999987×0.000130100990485715×6371000²
    0.00038349999999987×0.000130100990485715×40589641000000     		ar = 792164.8294966m²