Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13598 / 12542
↖ ↑ ↗
← S 68.640555°
E118.784179°		 ← 889.89 m → S 68.640555°
E118.806152°		 →
↑
889.71 m
↓
↑
889.71 m
↓
S 68.648557°
E118.784179°		 ← 889.57 m →
791 599 m²		 S 68.648557°
E118.806152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829986572265625 y=0.765533447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829986572265625 × 214)
    floor (0.829986572265625 × 16384)
    floor (13598.5)     		tx = 13598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765533447265625 × 214)
    floor (0.765533447265625 × 16384)
    floor (12542.5)     		ty = 12542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13598 / 12542 ti = "14/13598/12542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13598/12542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13598 ÷ 214
    13598 ÷ 16384     		x = 0.8299560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12542 ÷ 214
    12542 ÷ 16384     		y = 0.7655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8299560546875 × 2 - 1) × π
    0.659912109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07317503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.531005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66820410677795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07317503} λ = 2.07317503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66820410677795))-π/2
    2×atan(0.188585441020079)-π/2
    2×0.186396320478755-π/2
    0.372792640957511-1.57079632675     		φ = -1.19800369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07317503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.784179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19800369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.640555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13598 KachelY 12542 2.07317503 -1.19800369 118.784179 -68.640555
    Oben rechts KachelX + 1 13599 KachelY 12542 2.07355853 -1.19800369 118.806152 -68.640555
    Unten links KachelX 13598 KachelY + 1 12543 2.07317503 -1.19814334 118.784179 -68.648557
    Unten rechts KachelX + 1 13599 KachelY + 1 12543 2.07355853 -1.19814334 118.806152 -68.648557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19800369--1.19814334) × R
    0.000139649999999936 × 6371000     		dl = 889.71014999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19800369--1.19814334) × R
    0.000139649999999936 × 6371000     		dr = 889.71014999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07317503-2.07355853) × cos(-1.19800369) × R
    0.000383500000000314 × 0.364217670144992 × 6371000     		do = 889.88520278608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07317503-2.07355853) × cos(-1.19814334) × R
    0.000383500000000314 × 0.364087608614637 × 6371000     		du = 889.567426245287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19800369)-sin(-1.19814334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364217670144992-0.364087608614637)×R²
    abs(2.07355853-2.07317503)×0.000130061530354886×R²
    0.000383500000000314×0.000130061530354886×6371000²
    0.000383500000000314×0.000130061530354886×40589641000000     		ar = 791598.534032425m²