Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13597 / 21767
↖ ↑ ↗
← S 50.785102°
W 30.618897°		 ← 772.36 m → S 50.785102°
W 30.607910°		 →
↑
772.29 m
↓
↑
772.29 m
↓
S 50.792047°
W 30.618897°		 ← 772.24 m →
596 442 m²		 S 50.792047°
W 30.607910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414962768554688 y=0.664291381835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414962768554688 × 215)
    floor (0.414962768554688 × 32768)
    floor (13597.5)     		tx = 13597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664291381835938 × 215)
    floor (0.664291381835938 × 32768)
    floor (21767.5)     		ty = 21767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13597 / 21767 ti = "15/13597/21767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13597/21767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13597 ÷ 215
    13597 ÷ 32768     		x = 0.414947509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21767 ÷ 215
    21767 ÷ 32768     		y = 0.664276123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414947509765625 × 2 - 1) × π
    -0.17010498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53440056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664276123046875 × 2 - 1) × π
    -0.32855224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03217732261905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53440056} λ = -0.53440056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03217732261905))-π/2
    2×atan(0.356230486862379)-π/2
    2×0.342214545720884-π/2
    0.684429091441769-1.57079632675     		φ = -0.88636724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53440056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.618897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88636724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.785102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13597 KachelY 21767 -0.53440056 -0.88636724 -30.618897 -50.785102
    Oben rechts KachelX + 1 13598 KachelY 21767 -0.53420881 -0.88636724 -30.607910 -50.785102
    Unten links KachelX 13597 KachelY + 1 21768 -0.53440056 -0.88648846 -30.618897 -50.792047
    Unten rechts KachelX + 1 13598 KachelY + 1 21768 -0.53420881 -0.88648846 -30.607910 -50.792047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88636724--0.88648846) × R
    0.000121220000000033 × 6371000     		dl = 772.29262000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88636724--0.88648846) × R
    0.000121220000000033 × 6371000     		dr = 772.29262000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53440056--0.53420881) × cos(-0.88636724) × R
    0.000191750000000046 × 0.632230782372821 × 6371000     		do = 772.357938805032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53440056--0.53420881) × cos(-0.88648846) × R
    0.000191750000000046 × 0.632136858881542 × 6371000     		du = 772.243198181588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88636724)-sin(-0.88648846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632230782372821-0.632136858881542)×R²
    abs(-0.53420881--0.53440056)×9.39234912787912e-05×R²
    0.000191750000000046×9.39234912787912e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.39234912787912e-05×40589641000000     		ar = 596442.030200323m²