Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13596 / 3265
↖ ↑ ↗
← N 80.758850°
W 30.629883°		 ← 196.17 m → N 80.758850°
W 30.618897°		 →
↑
196.16 m
↓
↑
196.16 m
↓
N 80.757086°
W 30.629883°		 ← 196.21 m →
38 486 m²		 N 80.757086°
W 30.618897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414932250976562 y=0.0996551513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414932250976562 × 215)
    floor (0.414932250976562 × 32768)
    floor (13596.5)     		tx = 13596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0996551513671875 × 215)
    floor (0.0996551513671875 × 32768)
    floor (3265.5)     		ty = 3265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13596 / 3265 ti = "15/13596/3265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13596/3265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13596 ÷ 215
    13596 ÷ 32768     		x = 0.4149169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3265 ÷ 215
    3265 ÷ 32768     		y = 0.099639892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4149169921875 × 2 - 1) × π
    -0.170166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53459230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099639892578125 × 2 - 1) × π
    0.80072021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51553674446207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53459230} λ = -0.53459230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51553674446207))-π/2
    2×atan(12.3732482695844)-π/2
    2×1.4901520847559-π/2
    2.9803041695118-1.57079632675     		φ = 1.40950784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53459230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.629883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40950784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.758850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13596 KachelY 3265 -0.53459230 1.40950784 -30.629883 80.758850
    Oben rechts KachelX + 1 13597 KachelY 3265 -0.53440056 1.40950784 -30.618897 80.758850
    Unten links KachelX 13596 KachelY + 1 3266 -0.53459230 1.40947705 -30.629883 80.757086
    Unten rechts KachelX + 1 13597 KachelY + 1 3266 -0.53440056 1.40947705 -30.618897 80.757086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40950784-1.40947705) × R
    3.07900000000583e-05 × 6371000     		dl = 196.163090000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40950784-1.40947705) × R
    3.07900000000583e-05 × 6371000     		dr = 196.163090000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53459230--0.53440056) × cos(1.40950784) × R
    0.000191739999999996 × 0.160590103330584 × 6371000     		do = 196.172942194709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53459230--0.53440056) × cos(1.40947705) × R
    0.000191739999999996 × 0.160620493636729 × 6371000     		du = 196.210066249349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40950784)-sin(1.40947705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160590103330584-0.160620493636729)×R²
    abs(-0.53440056--0.53459230)×3.03903061452948e-05×R²
    0.000191739999999996×3.03903061452948e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.03903061452948e-05×40589641000000     		ar = 38485.5317026348m²