Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13596 / 22279
↖ ↑ ↗
← S 54.207436°
W 30.629883°		 ← 714.44 m → S 54.207436°
W 30.618897°		 →
↑
714.38 m
↓
↑
714.38 m
↓
S 54.213861°
W 30.629883°		 ← 714.33 m →
510 343 m²		 S 54.213861°
W 30.618897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414932250976562 y=0.679916381835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414932250976562 × 215)
    floor (0.414932250976562 × 32768)
    floor (13596.5)     		tx = 13596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679916381835938 × 215)
    floor (0.679916381835938 × 32768)
    floor (22279.5)     		ty = 22279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13596 / 22279 ti = "15/13596/22279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13596/22279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13596 ÷ 215
    13596 ÷ 32768     		x = 0.4149169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22279 ÷ 215
    22279 ÷ 32768     		y = 0.679901123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4149169921875 × 2 - 1) × π
    -0.170166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53459230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679901123046875 × 2 - 1) × π
    -0.35980224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13035209304092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53459230} λ = -0.53459230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13035209304092))-π/2
    2×atan(0.322919538681467)-π/2
    2×0.312349043728739-π/2
    0.624698087457478-1.57079632675     		φ = -0.94609824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53459230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.629883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94609824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.207436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13596 KachelY 22279 -0.53459230 -0.94609824 -30.629883 -54.207436
    Oben rechts KachelX + 1 13597 KachelY 22279 -0.53440056 -0.94609824 -30.618897 -54.207436
    Unten links KachelX 13596 KachelY + 1 22280 -0.53459230 -0.94621037 -30.629883 -54.213861
    Unten rechts KachelX + 1 13597 KachelY + 1 22280 -0.53440056 -0.94621037 -30.618897 -54.213861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94609824--0.94621037) × R
    0.000112129999999988 × 6371000     		dl = 714.380229999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94609824--0.94621037) × R
    0.000112129999999988 × 6371000     		dr = 714.380229999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53459230--0.53440056) × cos(-0.94609824) × R
    0.000191739999999996 × 0.58485240580328 × 6371000     		do = 714.441393439425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53459230--0.53440056) × cos(-0.94621037) × R
    0.000191739999999996 × 0.584761449028704 × 6371000     		du = 714.330282868406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94609824)-sin(-0.94621037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58485240580328-0.584761449028704)×R²
    abs(-0.53440056--0.53459230)×9.09567745762674e-05×R²
    0.000191739999999996×9.09567745762674e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.09567745762674e-05×40589641000000     		ar = 510343.119903952m²