Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13595 / 3260
↖ ↑ ↗
← N 80.767668°
W 30.640869°		 ← 196 m → N 80.767668°
W 30.629883°		 →
↑
195.97 m
↓
↑
195.97 m
↓
N 80.765905°
W 30.640869°		 ← 196.03 m →
38 414 m²		 N 80.765905°
W 30.629883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414901733398438 y=0.0995025634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414901733398438 × 215)
    floor (0.414901733398438 × 32768)
    floor (13595.5)     		tx = 13595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0995025634765625 × 215)
    floor (0.0995025634765625 × 32768)
    floor (3260.5)     		ty = 3260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13595 / 3260 ti = "15/13595/3260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13595/3260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13595 ÷ 215
    13595 ÷ 32768     		x = 0.414886474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3260 ÷ 215
    3260 ÷ 32768     		y = 0.0994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414886474609375 × 2 - 1) × π
    -0.17022705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53478405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0994873046875 × 2 - 1) × π
    0.801025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51649548245447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53478405} λ = -0.53478405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51649548245447))-π/2
    2×atan(12.3851166612197)-π/2
    2×1.49022903025864-π/2
    2.98045806051728-1.57079632675     		φ = 1.40966173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53478405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.640869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40966173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.767668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13595 KachelY 3260 -0.53478405 1.40966173 -30.640869 80.767668
    Oben rechts KachelX + 1 13596 KachelY 3260 -0.53459230 1.40966173 -30.629883 80.767668
    Unten links KachelX 13595 KachelY + 1 3261 -0.53478405 1.40963097 -30.640869 80.765905
    Unten rechts KachelX + 1 13596 KachelY + 1 3261 -0.53459230 1.40963097 -30.629883 80.765905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40966173-1.40963097) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dl = 195.971960000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40966173-1.40963097) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dr = 195.971960000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53478405--0.53459230) × cos(1.40966173) × R
    0.000191749999999935 × 0.160438208739538 × 6371000     		do = 195.997612995846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53478405--0.53459230) × cos(1.40963097) × R
    0.000191749999999935 × 0.160468570195087 × 6371000     		du = 196.034703741631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40966173)-sin(1.40963097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160438208739538-0.160468570195087)×R²
    abs(-0.53459230--0.53478405)×3.03614555487441e-05×R²
    0.000191749999999935×3.03614555487441e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.03614555487441e-05×40589641000000     		ar = 38413.6707506982m²