Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13595 / 12537
↖ ↑ ↗
← S 68.600505°
E118.718262°		 ← 891.45 m → S 68.600505°
E118.740234°		 →
↑
891.30 m
↓
↑
891.30 m
↓
S 68.608521°
E118.718262°		 ← 891.13 m →
794 412 m²		 S 68.608521°
E118.740234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829803466796875 y=0.765228271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829803466796875 × 214)
    floor (0.829803466796875 × 16384)
    floor (13595.5)     		tx = 13595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765228271484375 × 214)
    floor (0.765228271484375 × 16384)
    floor (12537.5)     		ty = 12537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13595 / 12537 ti = "14/13595/12537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13595/12537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13595 ÷ 214
    13595 ÷ 16384     		x = 0.82977294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12537 ÷ 214
    12537 ÷ 16384     		y = 0.76519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82977294921875 × 2 - 1) × π
    0.6595458984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07202455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.5303955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66628663079315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07202455} λ = 2.07202455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66628663079315))-π/2
    2×atan(0.188947395983393)-π/2
    2×0.186745821743817-π/2
    0.373491643487635-1.57079632675     		φ = -1.19730468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07202455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.718262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19730468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.600505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13595 KachelY 12537 2.07202455 -1.19730468 118.718262 -68.600505
    Oben rechts KachelX + 1 13596 KachelY 12537 2.07240804 -1.19730468 118.740234 -68.600505
    Unten links KachelX 13595 KachelY + 1 12538 2.07202455 -1.19744458 118.718262 -68.608521
    Unten rechts KachelX + 1 13596 KachelY + 1 12538 2.07240804 -1.19744458 118.740234 -68.608521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19730468--1.19744458) × R
    0.000139899999999971 × 6371000     		dl = 891.302899999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19730468--1.19744458) × R
    0.000139899999999971 × 6371000     		dr = 891.302899999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07202455-2.07240804) × cos(-1.19730468) × R
    0.000383489999999931 × 0.364868578805747 × 6371000     		do = 891.452308144322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07202455-2.07240804) × cos(-1.19744458) × R
    0.000383489999999931 × 0.364738320077055 × 6371000     		du = 891.134058091854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19730468)-sin(-1.19744458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364868578805747-0.364738320077055)×R²
    abs(2.07240804-2.07202455)×0.000130258728692378×R²
    0.000383489999999931×0.000130258728692378×6371000²
    0.000383489999999931×0.000130258728692378×40589641000000     		ar = 794412.200159177m²