Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13591 / 21747
↖ ↑ ↗
← S 50.645977°
W 30.684814°		 ← 774.65 m → S 50.645977°
W 30.673828°		 →
↑
774.59 m
↓
↑
774.59 m
↓
S 50.652944°
W 30.684814°		 ← 774.54 m →
599 992 m²		 S 50.652944°
W 30.673828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414779663085938 y=0.663681030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414779663085938 × 215)
    floor (0.414779663085938 × 32768)
    floor (13591.5)     		tx = 13591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663681030273438 × 215)
    floor (0.663681030273438 × 32768)
    floor (21747.5)     		ty = 21747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13591 / 21747 ti = "15/13591/21747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13591/21747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13591 ÷ 215
    13591 ÷ 32768     		x = 0.414764404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21747 ÷ 215
    21747 ÷ 32768     		y = 0.663665771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414764404296875 × 2 - 1) × π
    -0.17047119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53555104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663665771484375 × 2 - 1) × π
    -0.32733154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02834237064944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53555104} λ = -0.53555104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02834237064944))-π/2
    2×atan(0.357599236536735)-π/2
    2×0.34342863466382-π/2
    0.68685726932764-1.57079632675     		φ = -0.88393906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53555104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.684814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88393906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.645977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13591 KachelY 21747 -0.53555104 -0.88393906 -30.684814 -50.645977
    Oben rechts KachelX + 1 13592 KachelY 21747 -0.53535929 -0.88393906 -30.673828 -50.645977
    Unten links KachelX 13591 KachelY + 1 21748 -0.53555104 -0.88406064 -30.684814 -50.652944
    Unten rechts KachelX + 1 13592 KachelY + 1 21748 -0.53535929 -0.88406064 -30.673828 -50.652944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88393906--0.88406064) × R
    0.000121579999999955 × 6371000     		dl = 774.58617999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88393906--0.88406064) × R
    0.000121579999999955 × 6371000     		dr = 774.58617999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53555104--0.53535929) × cos(-0.88393906) × R
    0.000191749999999935 × 0.63411022228753 × 6371000     		do = 774.653936372409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53555104--0.53535929) × cos(-0.88406064) × R
    0.000191749999999935 × 0.634016206757387 × 6371000     		du = 774.539083310677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88393906)-sin(-0.88406064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63411022228753-0.634016206757387)×R²
    abs(-0.53535929--0.53555104)×9.40155301428769e-05×R²
    0.000191749999999935×9.40155301428769e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.40155301428769e-05×40589641000000     		ar = 599991.752338581m²