Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13591 / 12553
↖ ↑ ↗
← S 68.728413°
E118.630371°		 ← 886.37 m → S 68.728413°
E118.652344°		 →
↑
886.27 m
↓
↑
886.27 m
↓
S 68.736384°
E118.630371°		 ← 886.06 m →
785 424 m²		 S 68.736384°
E118.652344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829559326171875 y=0.766204833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829559326171875 × 214)
    floor (0.829559326171875 × 16384)
    floor (13591.5)     		tx = 13591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766204833984375 × 214)
    floor (0.766204833984375 × 16384)
    floor (12553.5)     		ty = 12553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13591 / 12553 ti = "14/13591/12553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13591/12553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13591 ÷ 214
    13591 ÷ 16384     		x = 0.82952880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12553 ÷ 214
    12553 ÷ 16384     		y = 0.76617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82952880859375 × 2 - 1) × π
    0.6590576171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07049057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.5323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67242255394452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07049057} λ = 2.07049057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67242255394452))-π/2
    2×atan(0.187791578910686)-π/2
    2×0.185629611343202-π/2
    0.371259222686404-1.57079632675     		φ = -1.19953710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07049057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.630371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19953710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.728413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13591 KachelY 12553 2.07049057 -1.19953710 118.630371 -68.728413
    Oben rechts KachelX + 1 13592 KachelY 12553 2.07087406 -1.19953710 118.652344 -68.728413
    Unten links KachelX 13591 KachelY + 1 12554 2.07049057 -1.19967621 118.630371 -68.736384
    Unten rechts KachelX + 1 13592 KachelY + 1 12554 2.07087406 -1.19967621 118.652344 -68.736384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19953710--1.19967621) × R
    0.000139110000000109 × 6371000     		dl = 886.269810000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19953710--1.19967621) × R
    0.000139110000000109 × 6371000     		dr = 886.269810000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07049057-2.07087406) × cos(-1.19953710) × R
    0.000383489999999931 × 0.362789156531801 × 6371000     		do = 886.371832889962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07049057-2.07087406) × cos(-1.19967621) × R
    0.000383489999999931 × 0.362659520412259 × 6371000     		du = 886.055104005378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19953710)-sin(-1.19967621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362789156531801-0.362659520412259)×R²
    abs(2.07087406-2.07049057)×0.000129636119542365×R²
    0.000383489999999931×0.000129636119542365×6371000²
    0.000383489999999931×0.000129636119542365×40589641000000     		ar = 785424.243568146m²