Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13590 / 3268
↖ ↑ ↗
← N 80.753556°
W 30.695801°		 ← 196.29 m → N 80.753556°
W 30.684814°		 →
↑
196.29 m
↓
↑
196.29 m
↓
N 80.751791°
W 30.695801°		 ← 196.33 m →
38 534 m²		 N 80.751791°
W 30.684814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414749145507812 y=0.0997467041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414749145507812 × 215)
    floor (0.414749145507812 × 32768)
    floor (13590.5)     		tx = 13590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0997467041015625 × 215)
    floor (0.0997467041015625 × 32768)
    floor (3268.5)     		ty = 3268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13590 / 3268 ti = "15/13590/3268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13590/3268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13590 ÷ 215
    13590 ÷ 32768     		x = 0.41473388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3268 ÷ 215
    3268 ÷ 32768     		y = 0.0997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1705322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53574279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0997314453125 × 2 - 1) × π
    0.800537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51496150166663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53574279} λ = -0.53574279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51496150166663))-π/2
    2×atan(12.366132694449)-π/2
    2×1.49010588249171-π/2
    2.98021176498342-1.57079632675     		φ = 1.40941544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53574279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.695801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40941544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.753556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13590 KachelY 3268 -0.53574279 1.40941544 -30.695801 80.753556
    Oben rechts KachelX + 1 13591 KachelY 3268 -0.53555104 1.40941544 -30.684814 80.753556
    Unten links KachelX 13590 KachelY + 1 3269 -0.53574279 1.40938463 -30.695801 80.751791
    Unten rechts KachelX + 1 13591 KachelY + 1 3269 -0.53555104 1.40938463 -30.684814 80.751791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40941544-1.40938463) × R
    3.08100000001588e-05 × 6371000     		dl = 196.290510001012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40941544-1.40938463) × R
    3.08100000001588e-05 × 6371000     		dr = 196.290510001012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53574279--0.53555104) × cos(1.40941544) × R
    0.000191750000000046 × 0.160681303402365 × 6371000     		do = 196.294586977534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53574279--0.53555104) × cos(1.40938463) × R
    0.000191750000000046 × 0.160711712991487 × 6371000     		du = 196.331736525182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40941544)-sin(1.40938463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160681303402365-0.160711712991487)×R²
    abs(-0.53555104--0.53574279)×3.04095891220935e-05×R²
    0.000191750000000046×3.04095891220935e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.04095891220935e-05×40589641000000     		ar = 38534.4106434206m²