Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13590 / 21746
↖ ↑ ↗
← S 50.639010°
W 30.695801°		 ← 774.77 m → S 50.639010°
W 30.684814°		 →
↑
774.71 m
↓
↑
774.71 m
↓
S 50.645977°
W 30.695801°		 ← 774.65 m →
600 179 m²		 S 50.645977°
W 30.684814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414749145507812 y=0.663650512695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414749145507812 × 215)
    floor (0.414749145507812 × 32768)
    floor (13590.5)     		tx = 13590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663650512695312 × 215)
    floor (0.663650512695312 × 32768)
    floor (21746.5)     		ty = 21746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13590 / 21746 ti = "15/13590/21746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13590/21746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13590 ÷ 215
    13590 ÷ 32768     		x = 0.41473388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21746 ÷ 215
    21746 ÷ 32768     		y = 0.66363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1705322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53574279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66363525390625 × 2 - 1) × π
    -0.3272705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02815062305096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53574279} λ = -0.53574279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02815062305096))-π/2
    2×atan(0.35766781190593)-π/2
    2×0.343489433727155-π/2
    0.686978867454309-1.57079632675     		φ = -0.88381746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53574279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.695801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88381746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.639010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13590 KachelY 21746 -0.53574279 -0.88381746 -30.695801 -50.639010
    Oben rechts KachelX + 1 13591 KachelY 21746 -0.53555104 -0.88381746 -30.684814 -50.639010
    Unten links KachelX 13590 KachelY + 1 21747 -0.53574279 -0.88393906 -30.695801 -50.645977
    Unten rechts KachelX + 1 13591 KachelY + 1 21747 -0.53555104 -0.88393906 -30.684814 -50.645977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88381746--0.88393906) × R
    0.000121599999999944 × 6371000     		dl = 774.713599999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88381746--0.88393906) × R
    0.000121599999999944 × 6371000     		dr = 774.713599999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53574279--0.53555104) × cos(-0.88381746) × R
    0.000191750000000046 × 0.634204243907759 × 6371000     		do = 774.768796874478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53574279--0.53555104) × cos(-0.88393906) × R
    0.000191750000000046 × 0.63411022228753 × 6371000     		du = 774.653936372857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88381746)-sin(-0.88393906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634204243907759-0.63411022228753)×R²
    abs(-0.53555104--0.53574279)×9.4021620229312e-05×R²
    0.000191750000000046×9.4021620229312e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.4021620229312e-05×40589641000000     		ar = 600179.432537399m²