Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13589 / 3253
↖ ↑ ↗
← N 80.779998°
W 30.706787°		 ← 195.74 m → N 80.779998°
W 30.695801°		 →
↑
195.78 m
↓
↑
195.78 m
↓
N 80.778238°
W 30.706787°		 ← 195.78 m →
38 325 m²		 N 80.778238°
W 30.695801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414718627929688 y=0.0992889404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414718627929688 × 215)
    floor (0.414718627929688 × 32768)
    floor (13589.5)     		tx = 13589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0992889404296875 × 215)
    floor (0.0992889404296875 × 32768)
    floor (3253.5)     		ty = 3253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13589 / 3253 ti = "15/13589/3253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13589/3253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13589 ÷ 215
    13589 ÷ 32768     		x = 0.414703369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3253 ÷ 215
    3253 ÷ 32768     		y = 0.099273681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414703369140625 × 2 - 1) × π
    -0.17059326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53593454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099273681640625 × 2 - 1) × π
    0.80145263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51783771564383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53593454} λ = -0.53593454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51783771564383))-π/2
    2×atan(12.4017515373005)-π/2
    2×1.49033663170625-π/2
    2.9806732634125-1.57079632675     		φ = 1.40987694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53593454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.706787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40987694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.779998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13589 KachelY 3253 -0.53593454 1.40987694 -30.706787 80.779998
    Oben rechts KachelX + 1 13590 KachelY 3253 -0.53574279 1.40987694 -30.695801 80.779998
    Unten links KachelX 13589 KachelY + 1 3254 -0.53593454 1.40984621 -30.706787 80.778238
    Unten rechts KachelX + 1 13590 KachelY + 1 3254 -0.53574279 1.40984621 -30.695801 80.778238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40987694-1.40984621) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dl = 195.780829999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40987694-1.40984621) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dr = 195.780829999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53593454--0.53574279) × cos(1.40987694) × R
    0.000191749999999935 × 0.160225782880664 × 6371000     		do = 195.738105228931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53593454--0.53574279) × cos(1.40984621) × R
    0.000191749999999935 × 0.160256115785425 × 6371000     		du = 195.775161095953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40987694)-sin(1.40984621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160225782880664-0.160256115785425)×R²
    abs(-0.53574279--0.53593454)×3.0332904760566e-05×R²
    0.000191749999999935×3.0332904760566e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.0332904760566e-05×40589641000000     		ar = 38325.3961213843m²