Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13588 / 12470
↖ ↑ ↗
← S 68.056889°
E118.564453°		 ← 913.02 m → S 68.056889°
E118.586426°		 →
↑
912.84 m
↓
↑
912.84 m
↓
S 68.065098°
E118.564453°		 ← 912.69 m →
833 289 m²		 S 68.065098°
E118.586426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829376220703125 y=0.761138916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829376220703125 × 214)
    floor (0.829376220703125 × 16384)
    floor (13588.5)     		tx = 13588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761138916015625 × 214)
    floor (0.761138916015625 × 16384)
    floor (12470.5)     		ty = 12470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13588 / 12470 ti = "14/13588/12470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13588/12470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13588 ÷ 214
    13588 ÷ 16384     		x = 0.829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12470 ÷ 214
    12470 ÷ 16384     		y = 0.7611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829345703125 × 2 - 1) × π
    0.65869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06934008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7611083984375 × 2 - 1) × π
    -0.522216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6405924525968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06934008} λ = 2.06934008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6405924525968))-π/2
    2×atan(0.193865152347892)-π/2
    2×0.191489768933572-π/2
    0.382979537867143-1.57079632675     		φ = -1.18781679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06934008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.564453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18781679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.056889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13588 KachelY 12470 2.06934008 -1.18781679 118.564453 -68.056889
    Oben rechts KachelX + 1 13589 KachelY 12470 2.06972358 -1.18781679 118.586426 -68.056889
    Unten links KachelX 13588 KachelY + 1 12471 2.06934008 -1.18796007 118.564453 -68.065098
    Unten rechts KachelX + 1 13589 KachelY + 1 12471 2.06972358 -1.18796007 118.586426 -68.065098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18781679--1.18796007) × R
    0.000143279999999857 × 6371000     		dl = 912.836879999088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18781679--1.18796007) × R
    0.000143279999999857 × 6371000     		dr = 912.836879999088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06934008-2.06972358) × cos(-1.18781679) × R
    0.00038349999999987 × 0.373685809322857 × 6371000     		do = 913.018503673327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06934008-2.06972358) × cos(-1.18796007) × R
    0.00038349999999987 × 0.373552905357917 × 6371000     		du = 912.693782273224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18781679)-sin(-1.18796007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373685809322857-0.373552905357917)×R²
    abs(2.06972358-2.06934008)×0.000132903964940034×R²
    0.00038349999999987×0.000132903964940034×6371000²
    0.00038349999999987×0.000132903964940034×40589641000000     		ar = 833288.754866007m²