Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13587 / 3252
↖ ↑ ↗
← N 80.781758°
W 30.728760°		 ← 195.69 m → N 80.781758°
W 30.717774°		 →
↑
195.72 m
↓
↑
195.72 m
↓
N 80.779998°
W 30.728760°		 ← 195.73 m →
38 304 m²		 N 80.779998°
W 30.717774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414657592773438 y=0.0992584228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414657592773438 × 215)
    floor (0.414657592773438 × 32768)
    floor (13587.5)     		tx = 13587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0992584228515625 × 215)
    floor (0.0992584228515625 × 32768)
    floor (3252.5)     		ty = 3252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13587 / 3252 ti = "15/13587/3252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13587/3252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13587 ÷ 215
    13587 ÷ 32768     		x = 0.414642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3252 ÷ 215
    3252 ÷ 32768     		y = 0.0992431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.17071533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53631803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0992431640625 × 2 - 1) × π
    0.801513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51802946324231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53631803} λ = -0.53631803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51802946324231))-π/2
    2×atan(12.4041297713778)-π/2
    2×1.49035199170747-π/2
    2.98070398341493-1.57079632675     		φ = 1.40990766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53631803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.728760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40990766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.781758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13587 KachelY 3252 -0.53631803 1.40990766 -30.728760 80.781758
    Oben rechts KachelX + 1 13588 KachelY 3252 -0.53612629 1.40990766 -30.717774 80.781758
    Unten links KachelX 13587 KachelY + 1 3253 -0.53631803 1.40987694 -30.728760 80.779998
    Unten rechts KachelX + 1 13588 KachelY + 1 3253 -0.53612629 1.40987694 -30.717774 80.779998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40990766-1.40987694) × R
    3.07200000000396e-05 × 6371000     		dl = 195.717120000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40990766-1.40987694) × R
    3.07200000000396e-05 × 6371000     		dr = 195.717120000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53631803--0.53612629) × cos(1.40990766) × R
    0.000191739999999996 × 0.160195459695451 × 6371000     		do = 195.690855183014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53631803--0.53612629) × cos(1.40987694) × R
    0.000191739999999996 × 0.160225782880664 × 6371000     		du = 195.727897244366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40990766)-sin(1.40987694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160195459695451-0.160225782880664)×R²
    abs(-0.53612629--0.53631803)×3.03231852139541e-05×R²
    0.000191739999999996×3.03231852139541e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.03231852139541e-05×40589641000000     		ar = 38303.6754722513m²