Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13587 / 16143
↖ ↑ ↗
← N 79.294990°
W142.682190°		 ← 56.73 m → N 79.294990°
W142.679443°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
N 79.294479°
W142.682190°		 ← 56.74 m →
3 221 m²		 N 79.294479°
W142.679443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103664398193359 y=0.123165130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103664398193359 × 217)
    floor (0.103664398193359 × 131072)
    floor (13587.5)     		tx = 13587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123165130615234 × 217)
    floor (0.123165130615234 × 131072)
    floor (16143.5)     		ty = 16143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13587 / 16143 ti = "17/13587/16143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13587/16143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13587 ÷ 217
    13587 ÷ 131072     		x = 0.103660583496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16143 ÷ 217
    16143 ÷ 131072     		y = 0.123161315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103660583496094 × 2 - 1) × π
    -0.792678833007812 × 3.1415926535     		Λ = -2.49027400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123161315917969 × 2 - 1) × π
    0.753677368164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.36774728293343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49027400} λ = -2.49027400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36774728293343))-π/2
    2×atan(10.6733212087855)-π/2
    2×1.47737748742111-π/2
    2.95475497484222-1.57079632675     		φ = 1.38395865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49027400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.682190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38395865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.294990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13587 KachelY 16143 -2.49027400 1.38395865 -142.682190 79.294990
    Oben rechts KachelX + 1 13588 KachelY 16143 -2.49022606 1.38395865 -142.679443 79.294990
    Unten links KachelX 13587 KachelY + 1 16144 -2.49027400 1.38394974 -142.682190 79.294479
    Unten rechts KachelX + 1 13588 KachelY + 1 16144 -2.49022606 1.38394974 -142.679443 79.294479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38395865-1.38394974) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38395865-1.38394974) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49027400--2.49022606) × cos(1.38395865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185752541051229 × 6371000     		do = 56.7336073074146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49027400--2.49022606) × cos(1.38394974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185761295979177 × 6371000     		du = 56.7362812877618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38395865)-sin(1.38394974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185752541051229-0.185761295979177)×R²
    abs(-2.49022606--2.49027400)×8.75492794799593e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.75492794799593e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.75492794799593e-06×40589641000000     		ar = 3220.59372134769m²