Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13585 / 22281
↖ ↑ ↗
← S 54.220285°
W 30.750733°		 ← 714.26 m → S 54.220285°
W 30.739746°		 →
↑
714.19 m
↓
↑
714.19 m
↓
S 54.226708°
W 30.750733°		 ← 714.15 m →
510 074 m²		 S 54.226708°
W 30.739746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414596557617188 y=0.679977416992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414596557617188 × 215)
    floor (0.414596557617188 × 32768)
    floor (13585.5)     		tx = 13585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679977416992188 × 215)
    floor (0.679977416992188 × 32768)
    floor (22281.5)     		ty = 22281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13585 / 22281 ti = "15/13585/22281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13585/22281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13585 ÷ 215
    13585 ÷ 32768     		x = 0.414581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22281 ÷ 215
    22281 ÷ 32768     		y = 0.679962158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414581298828125 × 2 - 1) × π
    -0.17083740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53670153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679962158203125 × 2 - 1) × π
    -0.35992431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.13073558823788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53670153} λ = -0.53670153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13073558823788))-π/2
    2×atan(0.322795724332)-π/2
    2×0.312236917125712-π/2
    0.624473834251423-1.57079632675     		φ = -0.94632249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53670153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.750733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94632249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.220285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13585 KachelY 22281 -0.53670153 -0.94632249 -30.750733 -54.220285
    Oben rechts KachelX + 1 13586 KachelY 22281 -0.53650978 -0.94632249 -30.739746 -54.220285
    Unten links KachelX 13585 KachelY + 1 22282 -0.53670153 -0.94643459 -30.750733 -54.226708
    Unten rechts KachelX + 1 13586 KachelY + 1 22282 -0.53650978 -0.94643459 -30.739746 -54.226708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94632249--0.94643459) × R
    0.000112099999999948 × 6371000     		dl = 714.189099999671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94632249--0.94643459) × R
    0.000112099999999948 × 6371000     		dr = 714.189099999671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53670153--0.53650978) × cos(-0.94632249) × R
    0.000191749999999935 × 0.58467049301455 × 6371000     		do = 714.256422583184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53670153--0.53650978) × cos(-0.94643459) × R
    0.000191749999999935 × 0.584579545877294 × 6371000     		du = 714.145317990636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94632249)-sin(-0.94643459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58467049301455-0.584579545877294)×R²
    abs(-0.53650978--0.53670153)×9.09471372562143e-05×R²
    0.000191749999999935×9.09471372562143e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.09471372562143e-05×40589641000000     		ar = 510074.477303396m²