Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13584 / 3310
↖ ↑ ↗
← N 80.679118°
W 30.761719°		 ← 197.86 m → N 80.679118°
W 30.750733°		 →
↑
197.88 m
↓
↑
197.88 m
↓
N 80.677339°
W 30.761719°		 ← 197.90 m →
39 157 m²		 N 80.677339°
W 30.750733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414566040039062 y=0.101028442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414566040039062 × 215)
    floor (0.414566040039062 × 32768)
    floor (13584.5)     		tx = 13584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101028442382812 × 215)
    floor (0.101028442382812 × 32768)
    floor (3310.5)     		ty = 3310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13584 / 3310 ti = "15/13584/3310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13584/3310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13584 ÷ 215
    13584 ÷ 32768     		x = 0.41455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3310 ÷ 215
    3310 ÷ 32768     		y = 0.10101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41455078125 × 2 - 1) × π
    -0.1708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53689328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10101318359375 × 2 - 1) × π
    0.7979736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50690810253046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53689328} λ = -0.53689328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50690810253046))-π/2
    2×atan(12.2669432343416)-π/2
    2×1.4894562890214-π/2
    2.97891257804281-1.57079632675     		φ = 1.40811625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53689328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.761719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40811625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.679118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13584 KachelY 3310 -0.53689328 1.40811625 -30.761719 80.679118
    Oben rechts KachelX + 1 13585 KachelY 3310 -0.53670153 1.40811625 -30.750733 80.679118
    Unten links KachelX 13584 KachelY + 1 3311 -0.53689328 1.40808519 -30.761719 80.677339
    Unten rechts KachelX + 1 13585 KachelY + 1 3311 -0.53670153 1.40808519 -30.750733 80.677339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40811625-1.40808519) × R
    3.10599999999717e-05 × 6371000     		dl = 197.883259999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40811625-1.40808519) × R
    3.10599999999717e-05 × 6371000     		dr = 197.883259999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53689328--0.53670153) × cos(1.40811625) × R
    0.000191750000000046 × 0.161963476204286 × 6371000     		do = 197.860939597644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53689328--0.53670153) × cos(1.40808519) × R
    0.000191750000000046 × 0.161994126033314 × 6371000     		du = 197.898382631791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40811625)-sin(1.40808519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161963476204286-0.161994126033314)×R²
    abs(-0.53670153--0.53689328)×3.06498290283952e-05×R²
    0.000191750000000046×3.06498290283952e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.06498290283952e-05×40589641000000     		ar = 39157.0724320504m²