Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13582 / 3233
↖ ↑ ↗
← N 80.815137°
W 30.783691°		 ← 195 m → N 80.815137°
W 30.772705°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
N 80.813383°
W 30.783691°		 ← 195.04 m →
38 031 m²		 N 80.813383°
W 30.772705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414505004882812 y=0.0986785888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414505004882812 × 215)
    floor (0.414505004882812 × 32768)
    floor (13582.5)     		tx = 13582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0986785888671875 × 215)
    floor (0.0986785888671875 × 32768)
    floor (3233.5)     		ty = 3233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13582 / 3233 ti = "15/13582/3233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13582/3233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13582 ÷ 215
    13582 ÷ 32768     		x = 0.41448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3233 ÷ 215
    3233 ÷ 32768     		y = 0.098663330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.1710205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53727677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098663330078125 × 2 - 1) × π
    0.80267333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52167266761343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53727677} λ = -0.53727677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52167266761343))-π/2
    2×atan(12.4494029708643)-π/2
    2×1.49064328002385-π/2
    2.9812865600477-1.57079632675     		φ = 1.41049023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53727677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.783691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41049023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.815137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13582 KachelY 3233 -0.53727677 1.41049023 -30.783691 80.815137
    Oben rechts KachelX + 1 13583 KachelY 3233 -0.53708502 1.41049023 -30.772705 80.815137
    Unten links KachelX 13582 KachelY + 1 3234 -0.53727677 1.41045962 -30.783691 80.813383
    Unten rechts KachelX + 1 13583 KachelY + 1 3234 -0.53708502 1.41045962 -30.772705 80.813383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41049023-1.41045962) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dl = 195.016310000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41049023-1.41045962) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dr = 195.016310000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53727677--0.53708502) × cos(1.41049023) × R
    0.000191749999999935 × 0.159620386253123 × 6371000     		do = 194.99852894691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53727677--0.53708502) × cos(1.41045962) × R
    0.000191749999999935 × 0.159650603711316 × 6371000     		du = 195.035443779873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41049023)-sin(1.41045962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159620386253123-0.159650603711316)×R²
    abs(-0.53708502--0.53727677)×3.02174581923442e-05×R²
    0.000191749999999935×3.02174581923442e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.02174581923442e-05×40589641000000     		ar = 38031.4930713683m²