Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1358 / 2934
↖ ↑ ↗
← S 61.185625°
W 60.644531°		 ← 4 710.32 m → S 61.185625°
W 60.556640°		 →
↑
4 707.15 m
↓
↑
4 707.15 m
↓
S 61.227957°
W 60.644531°		 ← 4 703.99 m →
22 157 292 m²		 S 61.227957°
W 60.556640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3316650390625 y=0.7164306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3316650390625 × 212)
    floor (0.3316650390625 × 4096)
    floor (1358.5)     		tx = 1358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7164306640625 × 212)
    floor (0.7164306640625 × 4096)
    floor (2934.5)     		ty = 2934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1358 / 2934 ti = "12/1358/2934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1358/2934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1358 ÷ 212
    1358 ÷ 4096     		x = 0.33154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2934 ÷ 212
    2934 ÷ 4096     		y = 0.71630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33154296875 × 2 - 1) × π
    -0.3369140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.05844674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71630859375 × 2 - 1) × π
    -0.4326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.35910697802783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05844674} λ = -1.05844674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35910697802783))-π/2
    2×atan(0.256890083039216)-π/2
    2×0.251452860616642-π/2
    0.502905721233285-1.57079632675     		φ = -1.06789061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05844674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06789061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.185625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1358 KachelY 2934 -1.05844674 -1.06789061 -60.644531 -61.185625
    Oben rechts KachelX + 1 1359 KachelY 2934 -1.05691276 -1.06789061 -60.556640 -61.185625
    Unten links KachelX 1358 KachelY + 1 2935 -1.05844674 -1.06862945 -60.644531 -61.227957
    Unten rechts KachelX + 1 1359 KachelY + 1 2935 -1.05691276 -1.06862945 -60.556640 -61.227957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06789061--1.06862945) × R
    0.000738839999999907 × 6371000     		dl = 4707.14963999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06789061--1.06862945) × R
    0.000738839999999907 × 6371000     		dr = 4707.14963999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05844674--1.05691276) × cos(-1.06789061) × R
    0.00153398000000005 × 0.481973517465778 × 6371000     		do = 4710.32071810859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05844674--1.05691276) × cos(-1.06862945) × R
    0.00153398000000005 × 0.481326024868925 × 6371000     		du = 4703.99278164889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06789061)-sin(-1.06862945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481973517465778-0.481326024868925)×R²
    abs(-1.05691276--1.05844674)×0.000647492596853705×R²
    0.00153398000000005×0.000647492596853705×6371000²
    0.00153398000000005×0.000647492596853705×40589641000000     		ar = 22157292.2085569m²