Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13579 / 3700
↖ ↑ ↗
← N 79.958930°
W 30.816650°		 ← 212.99 m → N 79.958930°
W 30.805664°		 →
↑
212.98 m
↓
↑
212.98 m
↓
N 79.957015°
W 30.816650°		 ← 213.03 m →
45 367 m²		 N 79.957015°
W 30.805664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414413452148438 y=0.112930297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414413452148438 × 215)
    floor (0.414413452148438 × 32768)
    floor (13579.5)     		tx = 13579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112930297851562 × 215)
    floor (0.112930297851562 × 32768)
    floor (3700.5)     		ty = 3700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13579 / 3700 ti = "15/13579/3700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13579/3700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13579 ÷ 215
    13579 ÷ 32768     		x = 0.414398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3700 ÷ 215
    3700 ÷ 32768     		y = 0.1129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414398193359375 × 2 - 1) × π
    -0.17120361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53785201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1129150390625 × 2 - 1) × π
    0.774169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43212653912317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53785201} λ = -0.53785201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43212653912317))-π/2
    2×atan(11.3830628887455)-π/2
    2×1.48317146461541-π/2
    2.96634292923082-1.57079632675     		φ = 1.39554660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53785201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.816650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39554660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.958930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13579 KachelY 3700 -0.53785201 1.39554660 -30.816650 79.958930
    Oben rechts KachelX + 1 13580 KachelY 3700 -0.53766027 1.39554660 -30.805664 79.958930
    Unten links KachelX 13579 KachelY + 1 3701 -0.53785201 1.39551317 -30.816650 79.957015
    Unten rechts KachelX + 1 13580 KachelY + 1 3701 -0.53766027 1.39551317 -30.805664 79.957015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39554660-1.39551317) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dl = 212.982530000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39554660-1.39551317) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dr = 212.982530000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53785201--0.53766027) × cos(1.39554660) × R
    0.000191739999999996 × 0.174354044764456 × 6371000     		do = 212.98663638432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53785201--0.53766027) × cos(1.39551317) × R
    0.000191739999999996 × 0.174386962620675 × 6371000     		du = 213.026848032306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39554660)-sin(1.39551317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174354044764456-0.174386962620675)×R²
    abs(-0.53766027--0.53785201)×3.29178562184229e-05×R²
    0.000191739999999996×3.29178562184229e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.29178562184229e-05×40589641000000     		ar = 45366.7148673619m²