Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13579 / 3233
↖ ↑ ↗
← N 80.815137°
W 30.816650°		 ← 194.99 m → N 80.815137°
W 30.805664°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
N 80.813383°
W 30.816650°		 ← 195.03 m →
38 030 m²		 N 80.813383°
W 30.805664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414413452148438 y=0.0986785888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414413452148438 × 215)
    floor (0.414413452148438 × 32768)
    floor (13579.5)     		tx = 13579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0986785888671875 × 215)
    floor (0.0986785888671875 × 32768)
    floor (3233.5)     		ty = 3233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13579 / 3233 ti = "15/13579/3233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13579/3233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13579 ÷ 215
    13579 ÷ 32768     		x = 0.414398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3233 ÷ 215
    3233 ÷ 32768     		y = 0.098663330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414398193359375 × 2 - 1) × π
    -0.17120361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53785201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098663330078125 × 2 - 1) × π
    0.80267333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52167266761343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53785201} λ = -0.53785201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52167266761343))-π/2
    2×atan(12.4494029708643)-π/2
    2×1.49064328002385-π/2
    2.9812865600477-1.57079632675     		φ = 1.41049023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53785201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.816650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41049023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.815137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13579 KachelY 3233 -0.53785201 1.41049023 -30.816650 80.815137
    Oben rechts KachelX + 1 13580 KachelY 3233 -0.53766027 1.41049023 -30.805664 80.815137
    Unten links KachelX 13579 KachelY + 1 3234 -0.53785201 1.41045962 -30.816650 80.813383
    Unten rechts KachelX + 1 13580 KachelY + 1 3234 -0.53766027 1.41045962 -30.805664 80.813383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41049023-1.41045962) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dl = 195.016310000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41049023-1.41045962) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dr = 195.016310000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53785201--0.53766027) × cos(1.41049023) × R
    0.000191739999999996 × 0.159620386253123 × 6371000     		do = 194.988359532164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53785201--0.53766027) × cos(1.41045962) × R
    0.000191739999999996 × 0.159650603711316 × 6371000     		du = 195.025272439972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41049023)-sin(1.41045962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159620386253123-0.159650603711316)×R²
    abs(-0.53766027--0.53785201)×3.02174581923442e-05×R²
    0.000191739999999996×3.02174581923442e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.02174581923442e-05×40589641000000     		ar = 38029.5096819112m²