Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13576 / 4328
↖ ↑ ↗
← N 82.512024°
W105.424805°		 ← 79.61 m → N 82.512024°
W105.419311°		 →
↑
79.64 m
↓
↑
79.64 m
↓
N 82.511308°
W105.424805°		 ← 79.61 m →
6 340 m²		 N 82.511308°
W105.419311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.207160949707031 y=0.0660476684570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.207160949707031 × 216)
    floor (0.207160949707031 × 65536)
    floor (13576.5)     		tx = 13576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0660476684570312 × 216)
    floor (0.0660476684570312 × 65536)
    floor (4328.5)     		ty = 4328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13576 / 4328 ti = "16/13576/4328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13576/4328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13576 ÷ 216
    13576 ÷ 65536     		x = 0.2071533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4328 ÷ 216
    4328 ÷ 65536     		y = 0.0660400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2071533203125 × 2 - 1) × π
    -0.585693359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.84000996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0660400390625 × 2 - 1) × π
    0.867919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.72665085038879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.84000996} λ = -1.84000996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72665085038879))-π/2
    2×atan(15.2816207843725)-π/2
    2×1.5054514076093-π/2
    3.01090281521861-1.57079632675     		φ = 1.44010649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.84000996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.424805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44010649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.512024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13576 KachelY 4328 -1.84000996 1.44010649 -105.424805 82.512024
    Oben rechts KachelX + 1 13577 KachelY 4328 -1.83991408 1.44010649 -105.419311 82.512024
    Unten links KachelX 13576 KachelY + 1 4329 -1.84000996 1.44009399 -105.424805 82.511308
    Unten rechts KachelX + 1 13577 KachelY + 1 4329 -1.83991408 1.44009399 -105.419311 82.511308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44010649-1.44009399) × R
    1.24999999999709e-05 × 6371000     		dl = 79.6374999998144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44010649-1.44009399) × R
    1.24999999999709e-05 × 6371000     		dr = 79.6374999998144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.84000996--1.83991408) × cos(1.44010649) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.130318127599336 × 6371000     		do = 79.6050211148309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.84000996--1.83991408) × cos(1.44009399) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.130330520992047 × 6371000     		du = 79.6125916371106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44010649)-sin(1.44009399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130318127599336-0.130330520992047)×R²
    abs(-1.83991408--1.84000996)×1.23933927109188e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.23933927109188e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.23933927109188e-05×40589641000000     		ar = 6339.84631760017m²