Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13574 / 3225
↖ ↑ ↗
← N 80.829156°
W 30.871582°		 ← 194.70 m → N 80.829156°
W 30.860595°		 →
↑
194.70 m
↓
↑
194.70 m
↓
N 80.827405°
W 30.871582°		 ← 194.74 m →
37 912 m²		 N 80.827405°
W 30.860595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414260864257812 y=0.0984344482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414260864257812 × 215)
    floor (0.414260864257812 × 32768)
    floor (13574.5)     		tx = 13574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0984344482421875 × 215)
    floor (0.0984344482421875 × 32768)
    floor (3225.5)     		ty = 3225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13574 / 3225 ti = "15/13574/3225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13574/3225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13574 ÷ 215
    13574 ÷ 32768     		x = 0.41424560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3225 ÷ 215
    3225 ÷ 32768     		y = 0.098419189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.1715087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53881075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098419189453125 × 2 - 1) × π
    0.80316162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52320664840128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53881075} λ = -0.53881075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52320664840128))-π/2
    2×atan(12.4685147706609)-π/2
    2×1.49076561467325-π/2
    2.98153122934651-1.57079632675     		φ = 1.41073490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53881075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.871582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41073490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.829156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13574 KachelY 3225 -0.53881075 1.41073490 -30.871582 80.829156
    Oben rechts KachelX + 1 13575 KachelY 3225 -0.53861900 1.41073490 -30.860595 80.829156
    Unten links KachelX 13574 KachelY + 1 3226 -0.53881075 1.41070434 -30.871582 80.827405
    Unten rechts KachelX + 1 13575 KachelY + 1 3226 -0.53861900 1.41070434 -30.860595 80.827405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41073490-1.41070434) × R
    3.05600000001238e-05 × 6371000     		dl = 194.697760000789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41073490-1.41070434) × R
    3.05600000001238e-05 × 6371000     		dr = 194.697760000789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53881075--0.53861900) × cos(1.41073490) × R
    0.000191750000000046 × 0.159378848521486 × 6371000     		do = 194.703456973699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53881075--0.53861900) × cos(1.41070434) × R
    0.000191750000000046 × 0.159409017813709 × 6371000     		du = 194.740312965223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41073490)-sin(1.41070434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159378848521486-0.159409017813709)×R²
    abs(-0.53861900--0.53881075)×3.01692922228536e-05×R²
    0.000191750000000046×3.01692922228536e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.01692922228536e-05×40589641000000     		ar = 37911.9148290345m²