Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13574 / 22271
↖ ↑ ↗
← S 54.156001°
W 30.871582°		 ← 715.37 m → S 54.156001°
W 30.860595°		 →
↑
715.27 m
↓
↑
715.27 m
↓
S 54.162434°
W 30.871582°		 ← 715.26 m →
511 643 m²		 S 54.162434°
W 30.860595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414260864257812 y=0.679672241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414260864257812 × 215)
    floor (0.414260864257812 × 32768)
    floor (13574.5)     		tx = 13574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679672241210938 × 215)
    floor (0.679672241210938 × 32768)
    floor (22271.5)     		ty = 22271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13574 / 22271 ti = "15/13574/22271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13574/22271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13574 ÷ 215
    13574 ÷ 32768     		x = 0.41424560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22271 ÷ 215
    22271 ÷ 32768     		y = 0.679656982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.1715087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53881075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679656982421875 × 2 - 1) × π
    -0.35931396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12881811225308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53881075} λ = -0.53881075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12881811225308))-π/2
    2×atan(0.323415271174674)-π/2
    2×0.31279789903734-π/2
    0.625595798074679-1.57079632675     		φ = -0.94520053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53881075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.871582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94520053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.156001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13574 KachelY 22271 -0.53881075 -0.94520053 -30.871582 -54.156001
    Oben rechts KachelX + 1 13575 KachelY 22271 -0.53861900 -0.94520053 -30.860595 -54.156001
    Unten links KachelX 13574 KachelY + 1 22272 -0.53881075 -0.94531280 -30.871582 -54.162434
    Unten rechts KachelX + 1 13575 KachelY + 1 22272 -0.53861900 -0.94531280 -30.860595 -54.162434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94520053--0.94531280) × R
    0.000112269999999914 × 6371000     		dl = 715.272169999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94520053--0.94531280) × R
    0.000112269999999914 × 6371000     		dr = 715.272169999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53881075--0.53861900) × cos(-0.94520053) × R
    0.000191750000000046 × 0.585580338292153 × 6371000     		do = 715.367925286144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53881075--0.53861900) × cos(-0.94531280) × R
    0.000191750000000046 × 0.585489326925804 × 6371000     		du = 715.256742228816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94520053)-sin(-0.94531280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585580338292153-0.585489326925804)×R²
    abs(-0.53861900--0.53881075)×9.10113663487033e-05×R²
    0.000191750000000046×9.10113663487033e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.10113663487033e-05×40589641000000     		ar = 511643.005731954m²