Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 13573 / 15633
N 79.552083°
W142.720642°
← 55.37 m → N 79.552083°
W142.717896°

55.43 m

55.43 m
N 79.551584°
W142.720642°
← 55.38 m →
3 069 m²
N 79.551584°
W142.717896°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103557586669922 y=0.119274139404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103557586669922 × 217)
    floor (0.103557586669922 × 131072)
    floor (13573.5)
    tx = 13573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119274139404297 × 217)
    floor (0.119274139404297 × 131072)
    floor (15633.5)
    ty = 15633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13573 / 15633 ti = "17/13573/15633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13573/15633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13573 ÷ 217
    13573 ÷ 131072
    x = 0.103553771972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15633 ÷ 217
    15633 ÷ 131072
    y = 0.119270324707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.103553771972656 × 2 - 1) × π
    -0.792892456054688 × 3.1415926535
    Λ = -2.49094511
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.119270324707031 × 2 - 1) × π
    0.761459350585938 × 3.1415926535
    Φ = 2.39219510173966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49094511} λ = -2.49094511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39219510173966))-π/2
    2×atan(10.937476485012)-π/2
    2×1.47962104635136-π/2
    2.95924209270272-1.57079632675
    φ = 1.38844577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49094511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.720642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38844577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.552083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13573 KachelY 15633 -2.49094511 1.38844577 -142.720642 79.552083
    Oben rechts KachelX + 1 13574 KachelY 15633 -2.49089718 1.38844577 -142.717896 79.552083
    Unten links KachelX 13573 KachelY + 1 15634 -2.49094511 1.38843707 -142.720642 79.551584
    Unten rechts KachelX + 1 13574 KachelY + 1 15634 -2.49089718 1.38843707 -142.717896 79.551584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.38844577-1.38843707) × R
    8.69999999997262e-06 × 6371000
    dl = 55.4276999998255m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.38844577-1.38843707) × R
    8.69999999997262e-06 × 6371000
    dr = 55.4276999998255m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49094511--2.49089718) × cos(1.38844577) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.181341657194014 × 6371000
    do = 55.374856564362m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49094511--2.49089718) × cos(1.38843707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.181350212942508 × 6371000
    du = 55.3774691650905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.38844577)-sin(1.38843707))×
    abs(λ12)×abs(0.181341657194014-0.181350212942508)×
    abs(-2.49089718--2.49094511)×8.55574849478735e-06×
    4.79300000000293e-05×8.55574849478735e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.55574849478735e-06×40589641000000
    ar = 3069.3733425435m²