Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13572 / 3227
↖ ↑ ↗
← N 80.825653°
W 30.893555°		 ← 194.78 m → N 80.825653°
W 30.882568°		 →
↑
194.76 m
↓
↑
194.76 m
↓
N 80.823902°
W 30.893555°		 ← 194.81 m →
37 939 m²		 N 80.823902°
W 30.882568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414199829101562 y=0.0984954833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414199829101562 × 215)
    floor (0.414199829101562 × 32768)
    floor (13572.5)     		tx = 13572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0984954833984375 × 215)
    floor (0.0984954833984375 × 32768)
    floor (3227.5)     		ty = 3227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13572 / 3227 ti = "15/13572/3227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13572/3227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13572 ÷ 215
    13572 ÷ 32768     		x = 0.4141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3227 ÷ 215
    3227 ÷ 32768     		y = 0.098480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53919425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098480224609375 × 2 - 1) × π
    0.80303955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52282315320432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53919425} λ = -0.53919425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52282315320432))-π/2
    2×atan(12.4637340718792)-π/2
    2×1.49073504837657-π/2
    2.98147009675314-1.57079632675     		φ = 1.41067377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53919425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.893555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41067377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.825653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13572 KachelY 3227 -0.53919425 1.41067377 -30.893555 80.825653
    Oben rechts KachelX + 1 13573 KachelY 3227 -0.53900250 1.41067377 -30.882568 80.825653
    Unten links KachelX 13572 KachelY + 1 3228 -0.53919425 1.41064320 -30.893555 80.823902
    Unten rechts KachelX + 1 13573 KachelY + 1 3228 -0.53900250 1.41064320 -30.882568 80.823902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41067377-1.41064320) × R
    3.0570000000063e-05 × 6371000     		dl = 194.761470000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41067377-1.41064320) × R
    3.0570000000063e-05 × 6371000     		dr = 194.761470000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53919425--0.53900250) × cos(1.41067377) × R
    0.000191749999999935 × 0.159439196829135 × 6371000     		do = 194.777180834881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53919425--0.53900250) × cos(1.41064320) × R
    0.000191749999999935 × 0.159469375695561 × 6371000     		du = 194.814048522627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41067377)-sin(1.41064320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159439196829135-0.159469375695561)×R²
    abs(-0.53900250--0.53919425)×3.01788664261449e-05×R²
    0.000191749999999935×3.01788664261449e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.01788664261449e-05×40589641000000     		ar = 37938.6802671483m²