Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13571 / 3231
↖ ↑ ↗
← N 80.818644°
W 30.904541°		 ← 194.91 m → N 80.818644°
W 30.893555°		 →
↑
194.95 m
↓
↑
194.95 m
↓
N 80.816891°
W 30.904541°		 ← 194.95 m →
38 003 m²		 N 80.816891°
W 30.893555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414169311523438 y=0.0986175537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414169311523438 × 215)
    floor (0.414169311523438 × 32768)
    floor (13571.5)     		tx = 13571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0986175537109375 × 215)
    floor (0.0986175537109375 × 32768)
    floor (3231.5)     		ty = 3231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13571 / 3231 ti = "15/13571/3231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13571/3231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13571 ÷ 215
    13571 ÷ 32768     		x = 0.414154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3231 ÷ 215
    3231 ÷ 32768     		y = 0.098602294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.17169189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53938599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098602294921875 × 2 - 1) × π
    0.80279541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52205616281039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53938599} λ = -0.53938599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52205616281039))-π/2
    2×atan(12.4541781726836)-π/2
    2×1.49067388105614-π/2
    2.98134776211228-1.57079632675     		φ = 1.41055144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53938599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.904541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41055144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.818644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13571 KachelY 3231 -0.53938599 1.41055144 -30.904541 80.818644
    Oben rechts KachelX + 1 13572 KachelY 3231 -0.53919425 1.41055144 -30.893555 80.818644
    Unten links KachelX 13571 KachelY + 1 3232 -0.53938599 1.41052084 -30.904541 80.816891
    Unten rechts KachelX + 1 13572 KachelY + 1 3232 -0.53919425 1.41052084 -30.893555 80.816891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41055144-1.41052084) × R
    3.06000000001028e-05 × 6371000     		dl = 194.952600000655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41055144-1.41052084) × R
    3.06000000001028e-05 × 6371000     		dr = 194.952600000655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53938599--0.53919425) × cos(1.41055144) × R
    0.000191739999999996 × 0.15955996075997 × 6371000     		do = 194.914545227735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53938599--0.53919425) × cos(1.41052084) × R
    0.000191739999999996 × 0.159590168645371 × 6371000     		du = 194.951446441656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41055144)-sin(1.41052084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15955996075997-0.159590168645371)×R²
    abs(-0.53919425--0.53938599)×3.02078854013954e-05×R²
    0.000191739999999996×3.02078854013954e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.02078854013954e-05×40589641000000     		ar = 38002.6943669831m²