Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13571 / 22277
↖ ↑ ↗
← S 54.194584°
W 30.904541°		 ← 714.66 m → S 54.194584°
W 30.893555°		 →
↑
714.64 m
↓
↑
714.64 m
↓
S 54.201010°
W 30.904541°		 ← 714.55 m →
510 684 m²		 S 54.201010°
W 30.893555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414169311523438 y=0.679855346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414169311523438 × 215)
    floor (0.414169311523438 × 32768)
    floor (13571.5)     		tx = 13571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679855346679688 × 215)
    floor (0.679855346679688 × 32768)
    floor (22277.5)     		ty = 22277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13571 / 22277 ti = "15/13571/22277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13571/22277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13571 ÷ 215
    13571 ÷ 32768     		x = 0.414154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22277 ÷ 215
    22277 ÷ 32768     		y = 0.679840087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.17169189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53938599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679840087890625 × 2 - 1) × π
    -0.35968017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12996859784396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53938599} λ = -0.53938599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12996859784396))-π/2
    2×atan(0.323043400522249)-π/2
    2×0.312461205216211-π/2
    0.624922410432421-1.57079632675     		φ = -0.94587392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53938599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.904541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94587392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.194584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13571 KachelY 22277 -0.53938599 -0.94587392 -30.904541 -54.194584
    Oben rechts KachelX + 1 13572 KachelY 22277 -0.53919425 -0.94587392 -30.893555 -54.194584
    Unten links KachelX 13571 KachelY + 1 22278 -0.53938599 -0.94598609 -30.904541 -54.201010
    Unten rechts KachelX + 1 13572 KachelY + 1 22278 -0.53919425 -0.94598609 -30.893555 -54.201010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94587392--0.94598609) × R
    0.000112169999999967 × 6371000     		dl = 714.63506999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94587392--0.94598609) × R
    0.000112169999999967 × 6371000     		dr = 714.63506999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53938599--0.53919425) × cos(-0.94587392) × R
    0.000191739999999996 × 0.585034345951513 × 6371000     		do = 714.663647074251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53938599--0.53919425) × cos(-0.94598609) × R
    0.000191739999999996 × 0.58494337144591 × 6371000     		du = 714.552514843442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94587392)-sin(-0.94598609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585034345951513-0.58494337144591)×R²
    abs(-0.53919425--0.53938599)×9.09745056032474e-05×R²
    0.000191739999999996×9.09745056032474e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.09745056032474e-05×40589641000000     		ar = 510683.996493806m²