Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13570 / 5302
↖ ↑ ↗
← N 53.461890°
E118.168945°		 ← 1 454.59 m → N 53.461890°
E118.190918°		 →
↑
1 454.82 m
↓
↑
1 454.82 m
↓
N 53.448807°
E118.168945°		 ← 1 455.03 m →
2 116 483 m²		 N 53.448807°
E118.190918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828277587890625 y=0.323638916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828277587890625 × 214)
    floor (0.828277587890625 × 16384)
    floor (13570.5)     		tx = 13570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323638916015625 × 214)
    floor (0.323638916015625 × 16384)
    floor (5302.5)     		ty = 5302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13570 / 5302 ti = "14/13570/5302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13570/5302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13570 ÷ 214
    13570 ÷ 16384     		x = 0.8282470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5302 ÷ 214
    5302 ÷ 16384     		y = 0.3236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8282470703125 × 2 - 1) × π
    0.656494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06243717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3236083984375 × 2 - 1) × π
    0.352783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1083011192157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06243717} λ = 2.06243717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1083011192157))-π/2
    2×atan(3.02920775766441)-π/2
    2×1.25194116958494-π/2
    2.50388233916989-1.57079632675     		φ = 0.93308601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06243717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.168945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93308601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.461890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13570 KachelY 5302 2.06243717 0.93308601 118.168945 53.461890
    Oben rechts KachelX + 1 13571 KachelY 5302 2.06282066 0.93308601 118.190918 53.461890
    Unten links KachelX 13570 KachelY + 1 5303 2.06243717 0.93285766 118.168945 53.448807
    Unten rechts KachelX + 1 13571 KachelY + 1 5303 2.06282066 0.93285766 118.190918 53.448807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93308601-0.93285766) × R
    0.000228349999999988 × 6371000     		dl = 1454.81784999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93308601-0.93285766) × R
    0.000228349999999988 × 6371000     		dr = 1454.81784999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06243717-2.06282066) × cos(0.93308601) × R
    0.000383489999999931 × 0.595357332338995 × 6371000     		do = 1454.58583970532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06243717-2.06282066) × cos(0.93285766) × R
    0.000383489999999931 × 0.595540787144384 × 6371000     		du = 1455.03405919914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93308601)-sin(0.93285766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595357332338995-0.595540787144384)×R²
    abs(2.06282066-2.06243717)×0.000183454805388839×R²
    0.000383489999999931×0.000183454805388839×6371000²
    0.000383489999999931×0.000183454805388839×40589641000000     		ar = 2116483.49201825m²