Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13570 / 22274
↖ ↑ ↗
← S 54.175297°
W 30.915527°		 ← 715.03 m → S 54.175297°
W 30.904541°		 →
↑
714.95 m
↓
↑
714.95 m
↓
S 54.181726°
W 30.915527°		 ← 714.92 m →
511 177 m²		 S 54.181726°
W 30.904541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414138793945312 y=0.679763793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414138793945312 × 215)
    floor (0.414138793945312 × 32768)
    floor (13570.5)     		tx = 13570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679763793945312 × 215)
    floor (0.679763793945312 × 32768)
    floor (22274.5)     		ty = 22274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13570 / 22274 ti = "15/13570/22274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13570/22274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13570 ÷ 215
    13570 ÷ 32768     		x = 0.41412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22274 ÷ 215
    22274 ÷ 32768     		y = 0.67974853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1717529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53957774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67974853515625 × 2 - 1) × π
    -0.3594970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12939335504852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53957774} λ = -0.53957774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12939335504852))-π/2
    2×atan(0.323229282369485)-π/2
    2×0.312629512867141-π/2
    0.625259025734283-1.57079632675     		φ = -0.94553730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53957774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.915527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94553730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.175297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13570 KachelY 22274 -0.53957774 -0.94553730 -30.915527 -54.175297
    Oben rechts KachelX + 1 13571 KachelY 22274 -0.53938599 -0.94553730 -30.904541 -54.175297
    Unten links KachelX 13570 KachelY + 1 22275 -0.53957774 -0.94564952 -30.915527 -54.181726
    Unten rechts KachelX + 1 13571 KachelY + 1 22275 -0.53938599 -0.94564952 -30.904541 -54.181726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94553730--0.94564952) × R
    0.000112219999999996 × 6371000     		dl = 714.953619999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94553730--0.94564952) × R
    0.000112219999999996 × 6371000     		dr = 714.953619999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53957774--0.53938599) × cos(-0.94553730) × R
    0.000191750000000046 × 0.585307314487222 × 6371000     		do = 715.034388689856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53957774--0.53938599) × cos(-0.94564952) × R
    0.000191750000000046 × 0.585216321531311 × 6371000     		du = 714.923228123442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94553730)-sin(-0.94564952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585307314487222-0.585216321531311)×R²
    abs(-0.53938599--0.53957774)×9.09929559108624e-05×R²
    0.000191750000000046×9.09929559108624e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.09929559108624e-05×40589641000000     		ar = 511176.687830585m²