Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1357 / 582
↖ ↑ ↗
← N 82.273524°
W120.366211°		 ← 656.96 m → N 82.273524°
W120.322266°		 →
↑
657.17 m
↓
↑
657.17 m
↓
N 82.267614°
W120.366211°		 ← 657.46 m →
431 898 m²		 N 82.267614°
W120.322266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16571044921875 y=0.07110595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16571044921875 × 213)
    floor (0.16571044921875 × 8192)
    floor (1357.5)     		tx = 1357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07110595703125 × 213)
    floor (0.07110595703125 × 8192)
    floor (582.5)     		ty = 582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1357 / 582 ti = "13/1357/582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1357/582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1357 ÷ 213
    1357 ÷ 8192     		x = 0.1656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 582 ÷ 213
    582 ÷ 8192     		y = 0.071044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1656494140625 × 2 - 1) × π
    -0.668701171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10078669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.071044921875 × 2 - 1) × π
    0.85791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69520424423804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10078669} λ = -2.10078669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69520424423804))-π/2
    2×atan(14.8085430040166)-π/2
    2×1.5033701047542-π/2
    3.00674020950839-1.57079632675     		φ = 1.43594388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10078669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.366211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43594388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.273524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1357 KachelY 582 -2.10078669 1.43594388 -120.366211 82.273524
    Oben rechts KachelX + 1 1358 KachelY 582 -2.10001970 1.43594388 -120.322266 82.273524
    Unten links KachelX 1357 KachelY + 1 583 -2.10078669 1.43584073 -120.366211 82.267614
    Unten rechts KachelX + 1 1358 KachelY + 1 583 -2.10001970 1.43584073 -120.322266 82.267614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43594388-1.43584073) × R
    0.000103149999999941 × 6371000     		dl = 657.168649999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43594388-1.43584073) × R
    0.000103149999999941 × 6371000     		dr = 657.168649999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10078669--2.10001970) × cos(1.43594388) × R
    0.000766990000000245 × 0.134444098875372 × 6371000     		do = 656.960187034811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10078669--2.10001970) × cos(1.43584073) × R
    0.000766990000000245 × 0.134546311679634 × 6371000     		du = 657.45964921699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43594388)-sin(1.43584073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134444098875372-0.134546311679634)×R²
    abs(-2.10001970--2.10078669)×0.00010221280426212×R²
    0.000766990000000245×0.00010221280426212×6371000²
    0.000766990000000245×0.00010221280426212×40589641000000     		ar = 431897.755043981m²