Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13569 / 5305
↖ ↑ ↗
← N 53.422628°
E118.146972°		 ← 1 455.97 m → N 53.422628°
E118.168945°		 →
↑
1 456.22 m
↓
↑
1 456.22 m
↓
N 53.409532°
E118.146972°		 ← 1 456.42 m →
2 120 536 m²		 N 53.409532°
E118.168945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828216552734375 y=0.323822021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828216552734375 × 214)
    floor (0.828216552734375 × 16384)
    floor (13569.5)     		tx = 13569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323822021484375 × 214)
    floor (0.323822021484375 × 16384)
    floor (5305.5)     		ty = 5305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13569 / 5305 ti = "14/13569/5305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13569/5305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13569 ÷ 214
    13569 ÷ 16384     		x = 0.82818603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5305 ÷ 214
    5305 ÷ 16384     		y = 0.32379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82818603515625 × 2 - 1) × π
    0.6563720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.06205367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32379150390625 × 2 - 1) × π
    0.3524169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10715063362482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06205367} λ = 2.06205367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10715063362482))-π/2
    2×atan(3.02572470177443)-π/2
    2×1.25159853626105-π/2
    2.5031970725221-1.57079632675     		φ = 0.93240075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06205367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.146972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93240075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.422628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13569 KachelY 5305 2.06205367 0.93240075 118.146972 53.422628
    Oben rechts KachelX + 1 13570 KachelY 5305 2.06243717 0.93240075 118.168945 53.422628
    Unten links KachelX 13569 KachelY + 1 5306 2.06205367 0.93217218 118.146972 53.409532
    Unten rechts KachelX + 1 13570 KachelY + 1 5306 2.06243717 0.93217218 118.168945 53.409532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93240075-0.93217218) × R
    0.000228569999999984 × 6371000     		dl = 1456.21946999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93240075-0.93217218) × R
    0.000228569999999984 × 6371000     		dr = 1456.21946999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06205367-2.06243717) × cos(0.93240075) × R
    0.00038349999999987 × 0.595907772225575 × 6371000     		do = 1455.96864786115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06205367-2.06243717) × cos(0.93217218) × R
    0.00038349999999987 × 0.596091310454229 × 6371000     		du = 1456.41708286915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93240075)-sin(0.93217218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595907772225575-0.596091310454229)×R²
    abs(2.06243717-2.06205367)×0.000183538228654578×R²
    0.00038349999999987×0.000183538228654578×6371000²
    0.00038349999999987×0.000183538228654578×40589641000000     		ar = 2120536.41185201m²