Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13569 / 15613
↖ ↑ ↗
← N 79.562039°
W142.731628°		 ← 55.32 m → N 79.562039°
W142.728882°		 →
↑
55.30 m
↓
↑
55.30 m
↓
N 79.561542°
W142.731628°		 ← 55.33 m →
3 059 m²		 N 79.561542°
W142.728882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103527069091797 y=0.119121551513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103527069091797 × 217)
    floor (0.103527069091797 × 131072)
    floor (13569.5)     		tx = 13569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119121551513672 × 217)
    floor (0.119121551513672 × 131072)
    floor (15613.5)     		ty = 15613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13569 / 15613 ti = "17/13569/15613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13569/15613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13569 ÷ 217
    13569 ÷ 131072     		x = 0.103523254394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15613 ÷ 217
    15613 ÷ 131072     		y = 0.119117736816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103523254394531 × 2 - 1) × π
    -0.792953491210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.49113686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119117736816406 × 2 - 1) × π
    0.761764526367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.39315383973206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49113686} λ = -2.49113686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39315383973206))-π/2
    2×atan(10.9479676876128)-π/2
    2×1.47970793495347-π/2
    2.95941586990694-1.57079632675     		φ = 1.38861954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49113686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.731628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38861954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.562039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13569 KachelY 15613 -2.49113686 1.38861954 -142.731628 79.562039
    Oben rechts KachelX + 1 13570 KachelY 15613 -2.49108893 1.38861954 -142.728882 79.562039
    Unten links KachelX 13569 KachelY + 1 15614 -2.49113686 1.38861086 -142.731628 79.561542
    Unten rechts KachelX + 1 13570 KachelY + 1 15614 -2.49108893 1.38861086 -142.728882 79.561542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38861954-1.38861086) × R
    8.68000000009417e-06 × 6371000     		dl = 55.3002800005999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38861954-1.38861086) × R
    8.68000000009417e-06 × 6371000     		dr = 55.3002800005999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49113686--2.49108893) × cos(1.38861954) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.181170765536456 × 6371000     		do = 55.3226727409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49113686--2.49108893) × cos(1.38861086) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.181179301889978 × 6371000     		du = 55.3252794191405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38861954)-sin(1.38861086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181170765536456-0.181179301889978)×R²
    abs(-2.49108893--2.49113686)×8.53635352277005e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.53635352277005e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.53635352277005e-06×40589641000000     		ar = 3059.43136781106m²