Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13569 / 12708
↖ ↑ ↗
← S 69.930300°
E118.146972°		 ← 838.44 m → S 69.930300°
E118.168945°		 →
↑
838.30 m
↓
↑
838.30 m
↓
S 69.937839°
E118.146972°		 ← 838.14 m →
702 737 m²		 S 69.937839°
E118.168945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828216552734375 y=0.775665283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828216552734375 × 214)
    floor (0.828216552734375 × 16384)
    floor (13569.5)     		tx = 13569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775665283203125 × 214)
    floor (0.775665283203125 × 16384)
    floor (12708.5)     		ty = 12708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13569 / 12708 ti = "14/13569/12708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13569/12708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13569 ÷ 214
    13569 ÷ 16384     		x = 0.82818603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12708 ÷ 214
    12708 ÷ 16384     		y = 0.775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82818603515625 × 2 - 1) × π
    0.6563720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.06205367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.55126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73186430947339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06205367} λ = 2.06205367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73186430947339))-π/2
    2×atan(0.176954204862781)-π/2
    2×0.175141170914831-π/2
    0.350282341829662-1.57079632675     		φ = -1.22051398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06205367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.146972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22051398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.930300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13569 KachelY 12708 2.06205367 -1.22051398 118.146972 -69.930300
    Oben rechts KachelX + 1 13570 KachelY 12708 2.06243717 -1.22051398 118.168945 -69.930300
    Unten links KachelX 13569 KachelY + 1 12709 2.06205367 -1.22064556 118.146972 -69.937839
    Unten rechts KachelX + 1 13570 KachelY + 1 12709 2.06243717 -1.22064556 118.168945 -69.937839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22051398--1.22064556) × R
    0.000131579999999909 × 6371000     		dl = 838.29617999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22051398--1.22064556) × R
    0.000131579999999909 × 6371000     		dr = 838.29617999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06205367-2.06243717) × cos(-1.22051398) × R
    0.00038349999999987 × 0.343163022658756 × 6371000     		do = 838.442835256867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06205367-2.06243717) × cos(-1.22064556) × R
    0.00038349999999987 × 0.343039429770903 × 6371000     		du = 838.140863411224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22051398)-sin(-1.22064556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343163022658756-0.343039429770903)×R²
    abs(2.06243717-2.06205367)×0.000123592887852686×R²
    0.00038349999999987×0.000123592887852686×6371000²
    0.00038349999999987×0.000123592887852686×40589641000000     		ar = 702736.856033718m²