Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13568 / 15614
↖ ↑ ↗
← N 79.561542°
W142.734375°		 ← 55.34 m → N 79.561542°
W142.731628°		 →
↑
55.36 m
↓
↑
55.36 m
↓
N 79.561044°
W142.734375°		 ← 55.34 m →
3 064 m²		 N 79.561044°
W142.731628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103519439697266 y=0.119129180908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103519439697266 × 217)
    floor (0.103519439697266 × 131072)
    floor (13568.5)     		tx = 13568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119129180908203 × 217)
    floor (0.119129180908203 × 131072)
    floor (15614.5)     		ty = 15614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13568 / 15614 ti = "17/13568/15614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13568/15614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13568 ÷ 217
    13568 ÷ 131072     		x = 0.103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15614 ÷ 217
    15614 ÷ 131072     		y = 0.119125366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103515625 × 2 - 1) × π
    -0.79296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.49118480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119125366210938 × 2 - 1) × π
    0.761749267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39310590283244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49118480} λ = -2.49118480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39310590283244))-π/2
    2×atan(10.9474428885635)-π/2
    2×1.47970359246878-π/2
    2.95940718493757-1.57079632675     		φ = 1.38861086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49118480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38861086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.561542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13568 KachelY 15614 -2.49118480 1.38861086 -142.734375 79.561542
    Oben rechts KachelX + 1 13569 KachelY 15614 -2.49113686 1.38861086 -142.731628 79.561542
    Unten links KachelX 13568 KachelY + 1 15615 -2.49118480 1.38860217 -142.734375 79.561044
    Unten rechts KachelX + 1 13569 KachelY + 1 15615 -2.49113686 1.38860217 -142.731628 79.561044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38861086-1.38860217) × R
    8.69000000003339e-06 × 6371000     		dl = 55.3639900002128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38861086-1.38860217) × R
    8.69000000003339e-06 × 6371000     		dr = 55.3639900002128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49118480--2.49113686) × cos(1.38861086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181179301889978 × 6371000     		do = 55.3368223523937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49118480--2.49113686) × cos(1.38860217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181187848064336 × 6371000     		du = 55.339432574021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38861086)-sin(1.38860217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181179301889978-0.181187848064336)×R²
    abs(-2.49113686--2.49118480)×8.54617435730454e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.54617435730454e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.54617435730454e-06×40589641000000     		ar = 3063.73953560337m²