Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13567 / 3186
↖ ↑ ↗
← N 80.897193°
W 30.948486°		 ← 193.26 m → N 80.897193°
W 30.937500°		 →
↑
193.30 m
↓
↑
193.30 m
↓
N 80.895454°
W 30.948486°		 ← 193.30 m →
37 360 m²		 N 80.895454°
W 30.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414047241210938 y=0.0972442626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414047241210938 × 215)
    floor (0.414047241210938 × 32768)
    floor (13567.5)     		tx = 13567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0972442626953125 × 215)
    floor (0.0972442626953125 × 32768)
    floor (3186.5)     		ty = 3186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13567 / 3186 ti = "15/13567/3186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13567/3186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13567 ÷ 215
    13567 ÷ 32768     		x = 0.414031982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3186 ÷ 215
    3186 ÷ 32768     		y = 0.09722900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414031982421875 × 2 - 1) × π
    -0.17193603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54015298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09722900390625 × 2 - 1) × π
    0.8055419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.530684804742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54015298} λ = -0.54015298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.530684804742))-π/2
    2×atan(12.5621057814021)-π/2
    2×1.49135935015427-π/2
    2.98271870030854-1.57079632675     		φ = 1.41192237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54015298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.948486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41192237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.897193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13567 KachelY 3186 -0.54015298 1.41192237 -30.948486 80.897193
    Oben rechts KachelX + 1 13568 KachelY 3186 -0.53996124 1.41192237 -30.937500 80.897193
    Unten links KachelX 13567 KachelY + 1 3187 -0.54015298 1.41189203 -30.948486 80.895454
    Unten rechts KachelX + 1 13568 KachelY + 1 3187 -0.53996124 1.41189203 -30.937500 80.895454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41192237-1.41189203) × R
    3.03400000001286e-05 × 6371000     		dl = 193.296140000819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41192237-1.41189203) × R
    3.03400000001286e-05 × 6371000     		dr = 193.296140000819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54015298--0.53996124) × cos(1.41192237) × R
    0.000191739999999996 × 0.158206445269229 × 6371000     		do = 193.261123811234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54015298--0.53996124) × cos(1.41189203) × R
    0.000191739999999996 × 0.158236403096167 × 6371000     		du = 193.297719559853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41192237)-sin(1.41189203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158206445269229-0.158236403096167)×R²
    abs(-0.53996124--0.54015298)×2.99578269380152e-05×R²
    0.000191739999999996×2.99578269380152e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.99578269380152e-05×40589641000000     		ar = 37360.1661563346m²