Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13565 / 5318
↖ ↑ ↗
← N 53.252069°
E118.059082°		 ← 1 461.80 m → N 53.252069°
E118.081055°		 →
↑
1 461.95 m
↓
↑
1 461.95 m
↓
N 53.238921°
E118.059082°		 ← 1 462.25 m →
2 137 416 m²		 N 53.238921°
E118.081055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827972412109375 y=0.324615478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827972412109375 × 214)
    floor (0.827972412109375 × 16384)
    floor (13565.5)     		tx = 13565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324615478515625 × 214)
    floor (0.324615478515625 × 16384)
    floor (5318.5)     		ty = 5318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13565 / 5318 ti = "14/13565/5318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13565/5318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13565 ÷ 214
    13565 ÷ 16384     		x = 0.82794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5318 ÷ 214
    5318 ÷ 16384     		y = 0.3245849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82794189453125 × 2 - 1) × π
    0.6558837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06051969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3245849609375 × 2 - 1) × π
    0.350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10216519606433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06051969} λ = 2.06051969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10216519606433))-π/2
    2×atan(3.01067767935949)-π/2
    2×1.25011013046873-π/2
    2.50022026093747-1.57079632675     		φ = 0.92942393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06051969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.059082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92942393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.252069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13565 KachelY 5318 2.06051969 0.92942393 118.059082 53.252069
    Oben rechts KachelX + 1 13566 KachelY 5318 2.06090319 0.92942393 118.081055 53.252069
    Unten links KachelX 13565 KachelY + 1 5319 2.06051969 0.92919446 118.059082 53.238921
    Unten rechts KachelX + 1 13566 KachelY + 1 5319 2.06090319 0.92919446 118.081055 53.238921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92942393-0.92919446) × R
    0.000229469999999954 × 6371000     		dl = 1461.95336999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92942393-0.92919446) × R
    0.000229469999999954 × 6371000     		dr = 1461.95336999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06051969-2.06090319) × cos(0.92942393) × R
    0.00038349999999987 × 0.598295672263515 × 6371000     		do = 1461.802952684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06051969-2.06090319) × cos(0.92919446) × R
    0.00038349999999987 × 0.598479525179003 × 6371000     		du = 1462.25215655957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92942393)-sin(0.92919446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598295672263515-0.598479525179003)×R²
    abs(2.06090319-2.06051969)×0.000183852915488725×R²
    0.00038349999999987×0.000183852915488725×6371000²
    0.00038349999999987×0.000183852915488725×40589641000000     		ar = 2137416.1198919m²