Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13565 / 5317
↖ ↑ ↗
← N 53.265213°
E118.059082°		 ← 1 461.35 m → N 53.265213°
E118.081055°		 →
↑
1 461.57 m
↓
↑
1 461.57 m
↓
N 53.252069°
E118.059082°		 ← 1 461.80 m →
2 136 201 m²		 N 53.252069°
E118.081055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827972412109375 y=0.324554443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827972412109375 × 214)
    floor (0.827972412109375 × 16384)
    floor (13565.5)     		tx = 13565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324554443359375 × 214)
    floor (0.324554443359375 × 16384)
    floor (5317.5)     		ty = 5317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13565 / 5317 ti = "14/13565/5317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13565/5317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13565 ÷ 214
    13565 ÷ 16384     		x = 0.82794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5317 ÷ 214
    5317 ÷ 16384     		y = 0.32452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82794189453125 × 2 - 1) × π
    0.6558837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06051969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32452392578125 × 2 - 1) × π
    0.3509521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10254869126129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06051969} λ = 2.06051969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10254869126129))-π/2
    2×atan(3.01183248120545)-π/2
    2×1.25022483460108-π/2
    2.50044966920216-1.57079632675     		φ = 0.92965334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06051969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.059082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92965334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.265213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13565 KachelY 5317 2.06051969 0.92965334 118.059082 53.265213
    Oben rechts KachelX + 1 13566 KachelY 5317 2.06090319 0.92965334 118.081055 53.265213
    Unten links KachelX 13565 KachelY + 1 5318 2.06051969 0.92942393 118.059082 53.252069
    Unten rechts KachelX + 1 13566 KachelY + 1 5318 2.06090319 0.92942393 118.081055 53.252069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92965334-0.92942393) × R
    0.000229409999999985 × 6371000     		dl = 1461.57110999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92965334-0.92942393) × R
    0.000229409999999985 × 6371000     		dr = 1461.57110999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06051969-2.06090319) × cos(0.92965334) × R
    0.00038349999999987 × 0.598111835928641 × 6371000     		do = 1461.35378931948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06051969-2.06090319) × cos(0.92942393) × R
    0.00038349999999987 × 0.598295672263515 × 6371000     		du = 1461.802952684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92965334)-sin(0.92942393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598111835928641-0.598295672263515)×R²
    abs(2.06090319-2.06051969)×0.000183836334873289×R²
    0.00038349999999987×0.000183836334873289×6371000²
    0.00038349999999987×0.000183836334873289×40589641000000     		ar = 2136200.73142542m²